Q3: Sabendo que o ponto (-5,-11,2, k) pertence ao plano (-2,-2,-2,1)+\operatorname{span}\{(1,3,-1,1),(1,3,-2,1)\}, assinale o valor de k :
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (-5,-11,2,k) pertence ao plano
(-2,-2,-2,1)+\span\{(1,3,-1,1),(1,3,-2,1)\}.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb R^4: precisamos escrever um ponto genérico do plano por combinação afim e igualá-lo a (-5,-11,2,k).

Passo 2

Um ponto genérico do plano é
(-2,-2,-2,1)+\alpha\,(1,3,-1,1)+\beta\,(1,3,-2,1).
Igualando coordenadas a (-5,-11,2,k) obtemos o sistema
\begin{cases} -2 + \alpha + \beta = -5,\\\\ -2 + 3\alpha + 3\beta = -11,\\\\ -2 - \alpha - 2\beta = 2,\\\\ 1 + \alpha + \beta = k. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações vem
\alpha + \beta = -3.
Da terceira equação
-2 - \alpha -2\beta = 2 \quad\Longrightarrow\quad -\alpha -2\beta = 4.
Substituindo \alpha=-3-\beta no segundo,
-(-3-\beta)-2\beta=4 \;\Longrightarrow\;3+\beta-2\beta=4 \;\Longrightarrow\;-\beta=1 \;\Longrightarrow\;\beta=-1,
e então
\alpha=-3-(-1)=-2.

Passo 4

Finalmente, da última equação
k = 1 + \alpha + \beta = 1 + (-2) + (-1) = -2.

Resposta

(E) -2

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