Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede escolher, entre as alternativas (A) a (F), uma equação paramétrica do plano, no formato
onde
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação cartesiana do plano é
. - Cada alternativa apresenta um ponto
e dois vetores diretores . - Para que uma alternativa represente corretamente o plano, é necessário:
- O ponto
deve satisfazer . - Os vetores diretores
e devem estar contidos no plano, i.e. ser ortogonais ao vetor normal : e . -
e devem ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro).
- O ponto
Passo 2
Breve aula-prática (como testar na prova):
- O vetor normal do plano dado pela equação
é . Esse vetor é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano. - Para verificar se um ponto
pertence ao plano, calcule . Se for igual a , o ponto pertence ao plano. - Para verificar se um vetor
é diretor do plano, calcule o produto escalar . Se for , então é ortogonal a e, portanto, paralelo ao plano. - Para checar independência entre
e , basta verificar que não existe escalar tal que . Na prática, vetores com padrões de componentes diferentes (ex.: um tem componente e o outro tem e ) são independentes.
Passo 3
Verificando a alternativa (A):
- Ponto
. Teste de pertencimento:
Logo o ponto pertence ao plano.
- Vetores diretores
e . Testes de ortogonalidade:
Ambos são ortogonais a
, logo pertencem ao plano. Verificação rápida de independência:
tem componente
e
tem
e
; claramente não são múltiplos, portanto são linearmente independentes.
- Conclusão parcial: os três requisitos (ponto no plano, vetores diretores no plano, vetores independentes) são satisfeitos por esta alternativa.
Passo 4
Verificando a alternativa (B):
- Ponto
já testado e pertence ao plano (como em (A)). - Vetores
, . Teste :
Portanto
não é ortogonal a
e não está no plano. Assim (B) não representa o plano.
Passo 5
Verificando a alternativa (C):
- Ponto
. Teste:
logo o ponto pertence ao plano.
- Vetor
. Teste:
Assim
não está no plano, então (C) é inválida.
Passo 6
Verificando a alternativa (D):
- Ponto
. Teste:
O ponto NÃO pertence ao plano, portanto (D) está errada (não precisa verificar vetores).
Passo 7
Verificando a alternativa (E):
- Ponto
pertence ao plano (ver Passo 5). - Vetor
. Teste:
Logo
não está no plano, então (E) é inválida.
Passo 8
Verificando a alternativa (F):
- Ponto
já testado no Passo 6 e não pertence ao plano. Portanto (F) é inválida.
Passo 9
Resumo das verificações:
- (A): ponto no plano, ambos vetores diretores ortogonais a
e independentes. - (B), (C), (E): têm ponto correto mas pelo menos um vetor diretor não é ortogonal ao normal.
- (D), (F): ponto indicado não pertence ao plano.
Portanto somente uma das alternativas satisfaz todos os requisitos para ser uma equação paramétrica do plano.
Resposta
(A)