Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x+7 y+5 z=-2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{2}{5}\right)+t(-20,0,12)+s(0,10,-14)
(B) \left(1,-1, \frac{2}{5}\right)+t(-18,0,10)+s(0,13,-19)
(C) \left(-1,1,-\frac{6}{5}\right)+t(-17,0,9)+s(0,16,-22)
(D) \left(-1,1,-\frac{11}{5}\right)+t(-20,0,12)+s(0,10,-14)
(E) \left(-1,1,-\frac{6}{5}\right)+t(-18,0,10)+s(0,13,-19)
(F) \left(-1,1,-\frac{11}{5}\right)+t(-17,0,9)+s(0,16,-22)

Passo 1

O enunciado dá o plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x+7y+5z=-2\}
e pede escolher, entre as alternativas (A) a (F), uma equação paramétrica do plano, no formato
\mathbf{r}(s,t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}+s\mathbf{w},
onde s,t\in\mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação cartesiana do plano é 3x+7y+5z=-2.
  • Cada alternativa apresenta um ponto \mathbf{r}_0 e dois vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w}.
  • Para que uma alternativa represente corretamente o plano, é necessário:
    1. O ponto \mathbf{r}_0 deve satisfazer 3x+7y+5z=-2.
    2. Os vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w} devem estar contidos no plano, i.e. ser ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}=(3,7,5): \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0.
    3. \mathbf{v} e \mathbf{w} devem ser linearmente independentes (não múltiplos um do outro).

Passo 2

Breve aula-prática (como testar na prova):
  • O vetor normal do plano dado pela equação 3x+7y+5z=-2 é \mathbf{n}=(3,7,5). Esse vetor é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano.
  • Para verificar se um ponto \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) pertence ao plano, calcule 3x_0+7y_0+5z_0. Se for igual a -2, o ponto pertence ao plano.
  • Para verificar se um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é diretor do plano, calcule o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3v_x+7v_y+5v_z. Se for 0, então \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{n} e, portanto, paralelo ao plano.
  • Para checar independência entre \mathbf{v} e \mathbf{w}, basta verificar que não existe escalar \lambda tal que \mathbf{v}=\lambda\mathbf{w}. Na prática, vetores com padrões de componentes diferentes (ex.: um tem componente x\neq0 e o outro tem x=0 e y\neq0) são independentes.

Passo 3

Verificando a alternativa (A):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(1,-1,\tfrac{2}{5}). Teste de pertencimento:
3\cdot1 + 7\cdot(-1) + 5\cdot\frac{2}{5} = 3-7+2 = -2.
Logo o ponto pertence ao plano.
  • Vetores diretores \mathbf{v}=(-20,0,12) e \mathbf{w}=(0,10,-14). Testes de ortogonalidade:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-20)+7(0)+5(12)=-60+0+60=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=3(0)+7(10)+5(-14)=0+70-70=0.
Ambos são ortogonais a \mathbf{n}, logo pertencem ao plano. Verificação rápida de independência: \mathbf{v} tem componente x\neq0 e \mathbf{w} tem x=0 e y\neq0; claramente não são múltiplos, portanto são linearmente independentes.
  • Conclusão parcial: os três requisitos (ponto no plano, vetores diretores no plano, vetores independentes) são satisfeitos por esta alternativa.

Passo 4

Verificando a alternativa (B):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(1,-1,\tfrac{2}{5}) já testado e pertence ao plano (como em (A)).
  • Vetores \mathbf{v}=(-18,0,10), \mathbf{w}=(0,13,-19). Teste \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-18)+7(0)+5(10)=-54+0+50=-4\neq0.
Portanto \mathbf{v} não é ortogonal a \mathbf{n} e não está no plano. Assim (B) não representa o plano.

Passo 5

Verificando a alternativa (C):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(-1,1,-\tfrac{6}{5}). Teste:
3(-1)+7(1)+5\left(-\tfrac{6}{5}\right)=-3+7-6=-2,
logo o ponto pertence ao plano.
  • Vetor \mathbf{v}=(-17,0,9). Teste:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-17)+7(0)+5(9)=-51+0+45=-6\neq0.
Assim \mathbf{v} não está no plano, então (C) é inválida.

Passo 6

Verificando a alternativa (D):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(-1,1,-\tfrac{11}{5}). Teste:
3(-1)+7(1)+5\left(-\tfrac{11}{5}\right)=-3+7-11=-7\neq-2.
O ponto NÃO pertence ao plano, portanto (D) está errada (não precisa verificar vetores).

Passo 7

Verificando a alternativa (E):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(-1,1,-\tfrac{6}{5}) pertence ao plano (ver Passo 5).
  • Vetor \mathbf{v}=(-18,0,10). Teste:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=3(-18)+7(0)+5(10)=-54+50=-4\neq0.
Logo \mathbf{v} não está no plano, então (E) é inválida.

Passo 8

Verificando a alternativa (F):
  • Ponto \mathbf{r}_0=(-1,1,-\tfrac{11}{5}) já testado no Passo 6 e não pertence ao plano. Portanto (F) é inválida.

Passo 9

Resumo das verificações:
  • (A): ponto no plano, ambos vetores diretores ortogonais a \mathbf{n}=(3,7,5) e independentes.
  • (B), (C), (E): têm ponto correto mas pelo menos um vetor diretor não é ortogonal ao normal.
  • (D), (F): ponto indicado não pertence ao plano.
    Portanto somente uma das alternativas satisfaz todos os requisitos para ser uma equação paramétrica do plano.

Resposta

(A)

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