Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{aligned} 3 x+5 y+4 z & =8, \\\\ 6 x+2 z & =7, \\\ z & =1 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}-15 x-25 y-20 z=-40, \\\\ -28 y-24 z=-4 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-18 x-6 z=-21, \\\\ 24 x+8 z=28 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}4 x+3 y+8 z=5, \\\\ 7 y+6 z=1, \\\\ -35 y-30 z=-5 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}6 x+2 y+8 z=3, \\\\ 5 x+3 y=2, \\\\ 25 x+15 y=10 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 30 x+10 z=35, \\\ z=1 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}18 x+6 y+24 z=9, \\\\ 25 x+15 y=10 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned}-15 x-25 y-20 z & =-40, \\\\ -12 x-20 y-16 z & =-32 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+4 z=8, \\\\ 9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 6 x+2 z=7 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}15 x+25 y+20 z=40, \\\\ 21 y+18 z=3 .\end{array}\right.
(F) \quad\left\{\begin{array}{r}9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 35 y+30 z=5 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned}-20 x-15 y-40 z & =-25, \\\\ -16 x-12 y-32 z & =-20 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar em qual das opções (A)–(F) os dois sistemas apresentados têm conjuntos-solução de dimensão 1 (ou seja, cada conjunto-solução é uma reta em \mathbb{R}^{3}).
Lista explícita dos sistemas em cada opção (copiados do enunciado):
(A) Primeiro sistema:
\begin{aligned} 3x+5y+4z&=8,\\\\ 6x+2z&=7,\\\ z&=1. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} -15x-25y-20z&=-40,\\\\ -28y-24z&=-4. \end{aligned}
(B) Primeiro sistema:
\begin{aligned} -18x-6z&=-21,\\\\ 24x+8z&=28. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} 4x+3y+8z&=5,\\\\ 7y+6z&=1,\\\\ -35y-30z&=-5. \end{aligned}
(C) Primeiro sistema:
\begin{aligned} 6x+2y+8z&=3,\\\\ 5x+3y&=2,\\\\ 25x+15y&=10. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} 9x+15y+12z&=24,\\\\ 30x+10z&=35,\\\ z&=1. \end{aligned}
(D) Primeiro sistema:
\begin{aligned} 18x+6y+24z&=9,\\\\ 25x+15y&=10. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} -15x-25y-20z&=-40,\\\\ -12x-20y-16z&=-32. \end{aligned}
(E) Primeiro system:
\begin{aligned} 3x+5y+4z&=8,\\\\ 9x+15y+12z&=24,\\\\ 6x+2z&=7. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} 15x+25y+20z&=40,\\\\ 21y+18z&=3. \end{aligned}
(F) Primeiro sistema:
\begin{aligned} 9x+15y+12z&=24,\\\\ 35y+30z&=5. \end{aligned}
Segundo sistema:
\begin{aligned} -20x-15y-40z&=-25,\\\\ -16x-12y-32z&=-20. \end{aligned}

Passo 2

Estratégia (ferramenta que vou usar) — regra chave e explicação didática:
  • Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} em n variáveis (aqui n=3), o conjunto solução, se consistente, é um espaço afim cujo dimensão é
\text{dimensão} = n - \operatorname{rank}(A).ã
Isto vem da teoria de espaços solução: as soluções formam um ponto particular mais a solução do homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}; a dimensão do espaço de soluções do homogêneo é n-\operatorname{rank}(A).
  • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) o sistema é consistente; se as duas ranks diferem, o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Aqui queremos conjuntos-solução de dimensão 1. Como n=3, isso significa que precisamos de
\operatorname{rank}(A)=2
e consistência.
  • Como os sistemas têm poucas equações (2 ou 3), uma forma prática de achar \operatorname{rank}(A) é verificar se as linhas (as equações) são múltiplos umas das outras ou se uma é combinação linear das outras. Também posso tentar eliminar variáveis e ver quantas equações independentes restam.
Vou aplicar isso sistematicamente em cada um dos 12 sistemas.

Passo 3

Análise da opção (A), primeiro sistema:
\begin{aligned} 3x+5y+4z&=8,\\\\ 6x+2z&=7,\\\ z&=1. \end{aligned}
  • Da terceira equação temos diretamente \;z=1\;.
  • Substituindo em \;6x+2z=7\; obtemos
6x+2\cdot 1=7\quad\Rightarrow\quad 6x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{6}.
  • Substituindo x=\tfrac{5}{6} e z=1 na primeira equação:
3\cdot\frac{5}{6}+5y+4\cdot 1=8
\frac{15}{6}+5y+4=8\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}+5y+4=8
5y=8-4-\frac{5}{2}= \frac{16-8-5}{2}=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{10}.
  • Obtivemos um único triplo (x,y,z)=\left(\tfrac{5}{6},\tfrac{3}{10},1\right). Logo o sistema tem solução única, ou seja dimensão 0. Em termos de ranks, isso corresponde a \operatorname{rank}(A)=3.
Conclusão: primeiro sistema de (A) NÃO tem dimensão 1.

Passo 4

Ainda em (A), segundo sistema:
\begin{aligned} -15x-25y-20z&=-40,\\\\ -28y-24z&=-4. \end{aligned}
  • Observe que essas são duas equações em três incógnitas. A segunda equação envolve apenas y e z; ela é não nula, logo há pelo menos uma linha independente. A primeira equação não é múltipla da segunda (a primeira tem componente em x, a segunda tem coeficiente zero em x), portanto as duas linhas são linearmente independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2.
  • Verificar consistência: a segunda equação pode ser escrita como
7y+6z=1
(foi obtida dividindo por -4). Dada qualquer solução (y,z) dessa equação, a primeira equação determina x por
-15x = -40 +25y+20z \quad\Rightarrow\quad x=\frac{40-25y-20z}{15},
portanto o sistema é consistente. Alternativamente não há contradição entre as duas equações.
  • Como \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente, a dimensão da solução é 3-2=1.
Conclusão: segundo sistema de (A) tem dimensão 1, mas como o primeiro tinha dimensão 0, a opção (A) não atende ao pedido.

Passo 5

Análise da opção (B), primeiro sistema:
\begin{aligned} -18x-6z&=-21,\\\\ 24x+8z&=28. \end{aligned}
  • Escrevendo as linhas de coeficientes: [-18,0,-6] e [24,0,8]. Note que a segunda linha é -\tfrac{4}{3} vezes a primeira, pois
-18\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=24,\qquad -6\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=8.
  • Verifique também os termos independentes: -21\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=28. Assim a segunda equação é múltiplo da primeira, inclusive no lado direito. Portanto há apenas uma equação independente: \operatorname{rank}(A)=1 e \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=1.
  • Isso dá dimensão 3-1=2 (um plano) para o conjunto de soluções, não uma reta.
Conclusão: primeiro sistema de (B) tem dimensão 2, logo (B) não serve.

Passo 6

Ainda em (B), segundo sistema:
\begin{aligned} 4x+3y+8z&=5,\\\\ 7y+6z&=1,\\\\ -35y-30z&=-5. \end{aligned}
  • Observe que a terceira equação é -5 vezes a segunda: -5(7y+6z)= -35y-30z e -5\cdot 1 = -5. Logo a terceira é dependente da segunda. Assim temos, no máximo, duas equações independentes.
  • As duas equações independentes são por exemplo 4x+3y+8z=5 e 7y+6z=1. O segundo determina y em função de z (ou vice-versa), e então a primeira determina x. Portanto \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; a dimensão da solução é 3-2=1.
Conclusão: segundo sistema de (B) tem dimensão 1, mas como o primeiro tinha dimensão 2, a opção (B) não serve.

Passo 7

Análise da opção (C), primeiro sistema:
\begin{aligned} 6x+2y+8z&=3,\\\\ 5x+3y&=2,\\\\ 25x+15y&=10. \end{aligned}
  • Note que a terceira equação é 5 vezes a segunda: 5(5x+3y)=25x+15y e 5\cdot 2=10. Então a terceira é redundante.
  • Mantemos as duas equações independentes 6x+2y+8z=3 e 5x+3y=2. Estas duas linhas de coeficientes não são múltiplos uma da outra, então \operatorname{rank}(A)=2.
  • Resolver rapidamente para ver consistência e a dimensão: da segunda eq.
5x+3y=2\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2-5x}{3}.
Substituindo na primeira:
6x+2\left(\frac{2-5x}{3}\right)+8z=3.
Multiplicando por 3:
18x+4-10x+24z=9\quad\Rightarrow\quad 8x+24z=5,
o que é consistente e dá x=\dfrac{5-24z}{8}. Há um parâmetro livre (por exemplo z), portanto dimensão 1.
Conclusão: primeiro sistema de (C) tem dimensão 1.

Passo 8

Ainda em (C), segundo sistema:
\begin{aligned} 9x+15y+12z&=24,\\\\ 30x+10z&=35,\\\ z&=1. \end{aligned}
  • Da terceira equação z=1. Substituindo na segunda:
30x+10\cdot 1=35\quad\Rightarrow\quad 30x=25\quad\Rightarrow\quad x=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.
  • Substituindo x=\tfrac{5}{6} e z=1 na primeira:
9\cdot\frac{5}{6}+15y+12\cdot 1=24
\frac{45}{6}+15y+12=24\quad\Rightarrow\quad \frac{15}{2}+15y+12=24
15y=24-12-\frac{15}{2}=\frac{48-24-15}{2}=\frac{9}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}.
  • Novamente obtemos solução única \left(\tfrac{5}{6},\tfrac{3}{10},1\right). Logo \operatorname{rank}(A)=3 e a dimensão é 0, não 1.
Conclusão: segundo sistema de (C) tem dimensão 0, portanto (C) falha porque só o primeiro tinha dimensão 1.

Passo 9

Análise da opção (D), primeiro sistema:
\begin{aligned} 18x+6y+24z&=9,\\\\ 25x+15y&=10. \end{aligned}
  • Simplificar a segunda equação dividindo por 5:
5x+3y=2.
  • As duas equações não são múltiplos uma da outra (a primeira envolve z). Logo temos duas equações independentes: \operatorname{rank}(A)=2.
  • Verificar consistência: da segunda temos y=(2-5x)/3. Substituindo na primeira:
18x+6\left(\frac{2-5x}{3}\right)+24z=9\quad\Rightarrow\quad 18x+4-10x+24z=9
8x+24z=5,
que é consistente e expressa x em função de z. Há um parâmetro livre, portanto dimensão 1.
Conclusão: primeiro sistema de (D) tem dimensão 1.

Passo 10

Ainda em (D), segundo sistema:
\begin{aligned} -15x-25y-20z&=-40,\\\\ -12x-20y-16z&=-32. \end{aligned}
  • Nota: a segunda linha é \tfrac{4}{5} vezes a primeira, pois
-15\cdot\frac{4}{5}=-12,\quad -25\cdot\frac{4}{5}=-20,\quad -20\cdot\frac{4}{5}=-16,
e o lado direito também: -40\cdot\frac{4}{5}=-32. Assim as duas equações são dependentes e \operatorname{rank}(A)=1.
  • Como a proporcionalidade inclui o lado direito, o sistema é consistente; portanto o conjunto de soluções do sistema tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão: segundo sistema de (D) tem dimensão 2, então (D) não serve.

Passo 11

Análise da opção (E), primeiro sistema:
\begin{aligned} 3x+5y+4z&=8,\\\\ 9x+15y+12z&=24,\\\\ 6x+2z&=7. \end{aligned}
  • Observe que a segunda equação é 3 vezes a primeira:
3(3x+5y+4z)=9x+15y+12z=24,
logo a segunda é redundante. Mantemos as equações independentes 3x+5y+4z=8 e 6x+2z=7.
  • Estas duas linhas de coeficientes são independentes (a segunda tem coeficiente de y igual a 0, a primeira tem coeficiente de y não nulo), então \operatorname{rank}(A)=2.
  • Resolver para ver consistência: de 6x+2z=7 obtém-se x=(7-2z)/6. Substituindo em 3x+5y+4z=8:
3\cdot\frac{7-2z}{6}+5y+4z=8\quad\Rightarrow\quad \frac{7-2z}{2}+5y+4z=8.
Multiplicando por 2:
7-2z+10y+8z=16\quad\Rightarrow\quad 10y+6z=9,
que é consistente e determina y em função de z. Há um parâmetro livre z, por isso a dimensão é 1.
Conclusão: primeiro sistema de (E) tem dimensão 1.

Passo 12

Ainda em (E), segundo sistema:
\begin{aligned} 15x+25y+20z&=40,\\\\ 21y+18z&=3. \end{aligned}
  • São duas equações em três incógnitas. As linhas de coeficientes [15,25,20] e [0,21,18] não são múltiplos, logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • A segunda equação envolve apenas y e z; ela é consistente (não contradiz a primeira). Dados y,z que satisfazem 21y+18z=3 a primeira determina x. Assim o sistema é consistente.
  • Portanto dimensão = 3-2=1.
Conclusão: segundo sistema de (E) tem dimensão 1. Como ambos os sistemas de (E) têm dimensão 1, a opção (E) satisfaz a condição pedida.

Passo 13

Verificação rápida das demais opções para garantir que só (E) funciona:
  • (F) primeiro sistema 9x+15y+12z=24,\;35y+30z=5: são duas equações independentes \Rightarrow \operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.
  • (F) segundo sistema -20x-15y-40z=-25 e -16x-12y-32z=-20: a segunda é 0,8 vezes a primeira (proporcional com mesmo RHS), logo \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão 2. Assim (F) falha.
Portanto entre todas as opções apenas (E) tem os dois sistemas com dimensão 1.

Resposta

(E)

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