Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{aligned} 3 x+5 y+4 z & =8, \\\\ 6 x+2 z & =7, \\\ z & =1 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-15 x-25 y-20 z=-40, \\\\ -28 y-24 z=-4 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-18 x-6 z=-21, \\\\ 24 x+8 z=28 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}4 x+3 y+8 z=5, \\\\ 7 y+6 z=1, \\\\ -35 y-30 z=-5 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}6 x+2 y+8 z=3, \\\\ 5 x+3 y=2, \\\\ 25 x+15 y=10 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 30 x+10 z=35, \\\ z=1 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}18 x+6 y+24 z=9, \\\\ 25 x+15 y=10 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-15 x-25 y-20 z & =-40, \\\\ -12 x-20 y-16 z & =-32 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+4 z=8, \\\\ 9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 6 x+2 z=7 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}15 x+25 y+20 z=40, \\\\ 21 y+18 z=3 .\end{array}\right.
(F) \quad\left\{\begin{array}{r}9 x+15 y+12 z=24, \\\\ 35 y+30 z=5 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-20 x-15 y-40 z & =-25, \\\\ -16 x-12 y-32 z & =-20 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar em qual das opções (A)–(F) os dois sistemas apresentados têm conjuntos-solução de dimensão 1 (ou seja, cada conjunto-solução é uma reta em \mathbb{R}^{3}).
Lista explícita dos sistemas em cada opção (copiados do enunciado):
Estratégia (ferramenta que vou usar) — regra chave e explicação didática:
Para um sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} em n variáveis (aqui n=3), o conjunto solução, se consistente, é um espaço afim cujo dimensão é
\text{dimensão} = n - \operatorname{rank}(A).ã
Isto vem da teoria de espaços solução: as soluções formam um ponto particular mais a solução do homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}; a dimensão do espaço de soluções do homogêneo é n-\operatorname{rank}(A).
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) o sistema é consistente; se as duas ranks diferem, o sistema é inconsistente (sem solução).
Aqui queremos conjuntos-solução de dimensão 1. Como n=3, isso significa que precisamos de
\operatorname{rank}(A)=2
e consistência.
Como os sistemas têm poucas equações (2 ou 3), uma forma prática de achar \operatorname{rank}(A) é verificar se as linhas (as equações) são múltiplos umas das outras ou se uma é combinação linear das outras. Também posso tentar eliminar variáveis e ver quantas equações independentes restam.
Vou aplicar isso sistematicamente em cada um dos 12 sistemas.
Obtivemos um único triplo (x,y,z)=\left(\tfrac{5}{6},\tfrac{3}{10},1\right). Logo o sistema tem solução única, ou seja dimensão 0. Em termos de ranks, isso corresponde a \operatorname{rank}(A)=3.
Conclusão: primeiro sistema de (A) NÃO tem dimensão 1.
Observe que essas são duas equações em três incógnitas. A segunda equação envolve apenas y e z; ela é não nula, logo há pelo menos uma linha independente. A primeira equação não é múltipla da segunda (a primeira tem componente em x, a segunda tem coeficiente zero em x), portanto as duas linhas são linearmente independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2.
Verificar consistência: a segunda equação pode ser escrita como
7y+6z=1
(foi obtida dividindo por -4). Dada qualquer solução (y,z) dessa equação, a primeira equação determina x por
Verifique também os termos independentes: -21\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=28. Assim a segunda equação é múltiplo da primeira, inclusive no lado direito. Portanto há apenas uma equação independente: \operatorname{rank}(A)=1 e \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=1.
Isso dá dimensão 3-1=2 (um plano) para o conjunto de soluções, não uma reta.
Conclusão: primeiro sistema de (B) tem dimensão 2, logo (B) não serve.
Observe que a terceira equação é -5 vezes a segunda: -5(7y+6z)= -35y-30z e -5\cdot 1 = -5. Logo a terceira é dependente da segunda. Assim temos, no máximo, duas equações independentes.
As duas equações independentes são por exemplo 4x+3y+8z=5 e 7y+6z=1. O segundo determina y em função de z (ou vice-versa), e então a primeira determina x. Portanto \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente; a dimensão da solução é 3-2=1.
Conclusão: segundo sistema de (B) tem dimensão 1, mas como o primeiro tinha dimensão 2, a opção (B) não serve.
Note que a terceira equação é 5 vezes a segunda: 5(5x+3y)=25x+15y e 5\cdot 2=10. Então a terceira é redundante.
Mantemos as duas equações independentes 6x+2y+8z=3 e 5x+3y=2. Estas duas linhas de coeficientes não são múltiplos uma da outra, então \operatorname{rank}(A)=2.
Resolver rapidamente para ver consistência e a dimensão: da segunda eq.
5x+3y=2\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2-5x}{3}.
Substituindo na primeira:
6x+2\left(\frac{2-5x}{3}\right)+8z=3.
Multiplicando por 3:
18x+4-10x+24z=9\quad\Rightarrow\quad 8x+24z=5,
o que é consistente e dá x=\dfrac{5-24z}{8}. Há um parâmetro livre (por exemplo z), portanto dimensão 1.
Conclusão: primeiro sistema de (C) tem dimensão 1.
e o lado direito também: -40\cdot\frac{4}{5}=-32. Assim as duas equações são dependentes e \operatorname{rank}(A)=1.
Como a proporcionalidade inclui o lado direito, o sistema é consistente; portanto o conjunto de soluções do sistema tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão: segundo sistema de (D) tem dimensão 2, então (D) não serve.
Observe que a segunda equação é 3 vezes a primeira:
3(3x+5y+4z)=9x+15y+12z=24,
logo a segunda é redundante. Mantemos as equações independentes 3x+5y+4z=8 e 6x+2z=7.
Estas duas linhas de coeficientes são independentes (a segunda tem coeficiente de y igual a 0, a primeira tem coeficiente de y não nulo), então \operatorname{rank}(A)=2.
Resolver para ver consistência: de 6x+2z=7 obtém-se x=(7-2z)/6. Substituindo em 3x+5y+4z=8:
São duas equações em três incógnitas. As linhas de coeficientes [15,25,20] e [0,21,18] não são múltiplos, logo \operatorname{rank}(A)=2.
A segunda equação envolve apenas y e z; ela é consistente (não contradiz a primeira). Dados y,z que satisfazem 21y+18z=3 a primeira determina x. Assim o sistema é consistente.
Portanto dimensão = 3-2=1.
Conclusão: segundo sistema de (E) tem dimensão 1. Como ambos os sistemas de (E) têm dimensão 1, a opção (E) satisfaz a condição pedida.
Passo 13
Verificação rápida das demais opções para garantir que só (E) funciona:
(F) primeiro sistema 9x+15y+12z=24,\;35y+30z=5: são duas equações independentes \Rightarrow\operatorname{rank}(A)=2 e dimensão 1.
(F) segundo sistema -20x-15y-40z=-25 e -16x-12y-32z=-20: a segunda é 0,8 vezes a primeira (proporcional com mesmo RHS), logo \operatorname{rank}(A)=1 e dimensão 2. Assim (F) falha.
Portanto entre todas as opções apenas (E) tem os dois sistemas com dimensão 1.