Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-5 y+7 z=-3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1, \frac{5}{7}\right)+t(-17,0,9)+s(0,-19,-17)
(B) \left(1,-1,-\frac{4}{7}\right)+t(-14,0,6)+s(0,21,15)
(C) \left(1,-1,-\frac{11}{7}\right)+t(-17,0,9)+s(0,-19,-17)
(D) \left(1,-1,-\frac{11}{7}\right)+t(-14,0,6)+s(0,21,15)
(E) \left(-1,1, \frac{5}{7}\right)+t(-15,0,7)+s(0,-18,-18)
(F) \left(1,-1,-\frac{4}{7}\right)+t(-15,0,7)+s(0,-18,-18)

Passo 1

O enunciado dá a equação do plano
3x-5y+7z=-3
e pede qual das parametrizações listadas (opções (A) a (F)) é uma equação paramétrica desse plano, com parâmetros s,t\in\mathbb{R}. Para cada opção o enunciado fornece um ponto inicial P e dois vetores diretores v (coeficiente de t) e w (coeficiente de s). Vou usar esses dados exatamente como aparecem em cada alternativa.
As perguntas implícitas são:
  • O ponto dado pertence ao plano? (ou seja, satisfaz 3x-5y+7z=-3.)
  • Os vetores diretores pertencem ao plano, ou seja, são ortogonais ao vetor normal do plano? (ver definição abaixo)
  • Os dois vetores diretores são linearmente independentes (para realmente parametrizar um plano)?

Passo 2

Explicação do método (por que vamos fazer assim).
  • O plano tem vetor normal n=(3,-5,7) porque sua equação é 3x-5y+7z=-3. Isso significa que qualquer vetor u=(u_x,u_y,u_z) contido no plano satisfaz
n\cdot u = 3u_x-5u_y+7u_z=0.
  • Se uma parametrização do plano for P(t,s)=P_0+t v+s w, então para todo t,s deve valer a equação do plano. Substituindo:
3(P_0+t v+s w)_x-5(P_0+t v+s w)_y+7(P_0+t v+s w)_z=-3.
Expandindo e agrupando,
\bigl(3(P_0)_x-5(P_0)_y+7(P_0)_z\bigr)+t\,(3v_x-5v_y+7v_z)+s\,(3w_x-5w_y+7w_z)=-3.
Portanto é necessário e suficiente que
3(P_0)_x-5(P_0)_y+7(P_0)_z=-3
(e o ponto P_0 está no plano) e
3v_x-5v_y+7v_z=0,\qquad 3w_x-5w_y+7w_z=0
(ou seja, v e w são ortogonais a n, logo pertencem ao subespaço dos vetores do plano). Também precisamos que v e w não sejam múltiplos um do outro (independentes).
Vou aplicar esse teste a cada alternativa, usando os pontos e vetores que peguei do enunciado.

Passo 3

Verificação da alternativa (A).
  • Do enunciado peguei P=(-1,1,\tfrac{5}{7}), v=(-17,0,9), w=(0,-19,-17).
  • Teste se P está no plano:
3(-1)-5(1)+7\left(\tfrac{5}{7}\right) = -3-5+5 = -3,
logo P satisfaz a equação do plano.
  • Teste v:
3(-17)-5(0)+7(9) = -51+63=12\neq0,
portanto v não é ortogonal a n e não está contido no plano. Assim a alternativa (A) falha (não é parametrização do plano).

Passo 4

Verificação da alternativa (B).
  • Do enunciado peguei P=(1,-1,-\tfrac{4}{7}), v=(-14,0,6), w=(0,21,15).
  • Teste P no plano:
3(1)-5(-1)+7\left(-\tfrac{4}{7}\right)=3+5-4=4\neq -3.
O ponto inicial não pertence ao plano, portanto (B) não é parametrização do plano (não preciso checar os vetores).

Passo 5

Verificação da alternativa (C).
  • Do enunciado peguei P=(1,-1,-\tfrac{11}{7}), v=(-17,0,9), w=(0,-19,-17).
  • Teste P:
3(1)-5(-1)+7\left(-\tfrac{11}{7}\right)=3+5-11=-3,
portanto P está no plano.
  • Teste v:
3(-17)-5(0)+7(9)=-51+63=12\neq0,
logo v não pertence ao plano e (C) falha.

Passo 6

Verificação da alternativa (D).
  • Do enunciado peguei P=(1,-1,-\tfrac{11}{7}), v=(-14,0,6), w=(0,21,15).
  • Teste P (já feito no passo 5): P satisfaz a equação do plano, pois 3+5-11=-3.
  • Teste v:
3(-14)-5(0)+7(6)=-42+42=0,
portanto v é ortogonal a n.
  • Teste w:
3(0)-5(21)+7(15)=0-105+105=0,
portanto w também é ortogonal a n.
  • Teste de independência: v=(-14,0,6) tem segunda componente 0, enquanto w=(0,21,15) tem segunda componente 21\neq0. Como uma componente é zero no primeiro e não é zero no segundo, eles não podem ser múltiplos escalares um do outro; logo são linearmente independentes. Assim v e w geram um plano e o ponto P está no plano correto. Conclusão: a alternativa (D) é uma parametrização válida do plano.

Passo 7

Verificação da alternativa (E).
  • Do enunciado peguei P=(-1,1,\tfrac{5}{7}), v=(-15,0,7), w=(0,-18,-18).
  • Teste P (feito no passo 3): P está no plano.
  • Teste v:
3(-15)-5(0)+7(7)=-45+49=4\neq0,
logo v não pertence ao plano e (E) falha.

Passo 8

Verificação da alternativa (F).
  • Do enunciado peguei P=(1,-1,-\tfrac{4}{7}), v=(-15,0,7), w=(0,-18,-18).
  • Teste P (feito no passo 4): P não está no plano (a soma deu 4), portanto (F) falha.

Resposta

(D)

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