Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá a equação do plano
e pede qual das parametrizações listadas (opções (A) a (F)) é uma equação paramétrica desse plano, com parâmetros
. Para cada opção o enunciado fornece um ponto inicial
e dois vetores diretores
(coeficiente de
) e
(coeficiente de
). Vou usar esses dados exatamente como aparecem em cada alternativa.
As perguntas implícitas são:
- O ponto dado pertence ao plano? (ou seja, satisfaz
.) - Os vetores diretores pertencem ao plano, ou seja, são ortogonais ao vetor normal do plano? (ver definição abaixo)
- Os dois vetores diretores são linearmente independentes (para realmente parametrizar um plano)?
Passo 2
Explicação do método (por que vamos fazer assim).
- O plano tem vetor normal
porque sua equação é . Isso significa que qualquer vetor contido no plano satisfaz
- Se uma parametrização do plano for
, então para todo deve valer a equação do plano. Substituindo:
Expandindo e agrupando,
Portanto é necessário e suficiente que
(e o ponto
está no plano) e
(ou seja,
e
são ortogonais a
, logo pertencem ao subespaço dos vetores do plano). Também precisamos que
e
não sejam múltiplos um do outro (independentes).
Vou aplicar esse teste a cada alternativa, usando os pontos e vetores que peguei do enunciado.
Passo 3
Verificação da alternativa (A).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste se
está no plano:
logo
satisfaz a equação do plano.
- Teste
:
portanto
não é ortogonal a
e não está contido no plano. Assim a alternativa (A) falha (não é parametrização do plano).
Passo 4
Verificação da alternativa (B).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste
no plano:
O ponto inicial não pertence ao plano, portanto (B) não é parametrização do plano (não preciso checar os vetores).
Passo 5
Verificação da alternativa (C).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste
:
portanto
está no plano.
- Teste
:
logo
não pertence ao plano e (C) falha.
Passo 6
Verificação da alternativa (D).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste
(já feito no passo 5): satisfaz a equação do plano, pois . - Teste
:
portanto
é ortogonal a
.
- Teste
:
portanto
também é ortogonal a
.
- Teste de independência:
tem segunda componente , enquanto tem segunda componente . Como uma componente é zero no primeiro e não é zero no segundo, eles não podem ser múltiplos escalares um do outro; logo são linearmente independentes. Assim e geram um plano e o ponto está no plano correto. Conclusão: a alternativa (D) é uma parametrização válida do plano.
Passo 7
Verificação da alternativa (E).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste
(feito no passo 3): está no plano. - Teste
:
logo
não pertence ao plano e (E) falha.
Passo 8
Verificação da alternativa (F).
- Do enunciado peguei
, , . - Teste
(feito no passo 4): não está no plano (a soma deu ), portanto (F) falha.
Resposta
(D)