Sejam as matrizes I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\\\ 1 & -1\end{array}\right], (1) 75 determine, se existir, a solução para a equação x A+y B+z C=I, onde I é a matriz identidade.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, se existir, escalares x,y,z tais que
Resumindo: encontrar x,y,z\in\mathbb{R} tais que a combinação linear das matrizes A,B,C dê a matriz identidade I.]
Passo 2
Como as matrizes são 2\times2, a igualdade de matrizes vale coluna a coluna e entrada a entrada. Então basta igualar cada uma das quatro entradas da matriz xA+yB+zC com a correspondente de I.
Calculemos a soma xA+yB+zC entrada a entrada:
Entrada (1,1): -x + 2y + 0z.
Entrada (1,2): 2x - y + 2z.
Entrada (2,1): 0x + 2y + z.
Entrada (2,2): 3x + 0y - z.
Igualando com I=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} obtemos o sistema linear de quatro equações:
\begin{cases} - x + 2y = 1,\\[4pt] 2x - y + 2z = 0,\\[4pt] 2y + z = 0,\\[4pt] 3x - z = 1. \end{cases}]
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Uma boa estratégia é usar as equações mais simples para eliminar variáveis por substituição.
Da terceira equação temos
2y+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2y.
Da primeira equação temos
- x + 2y = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 2y-1.
Agora substituímos x e z na quarta equação 3x - z = 1:
3(2y-1) - (-2y) = 1.
Faça passo a passo:
6y - 3 + 2y = 1,
8y - 3 = 1,
8y = 4,
y = \tfrac{1}{2}.
Com y=\tfrac{1}{2} obtemos
x = 2y-1 = 2\cdot\tfrac{1}{2}-1 = 1-1 = 0,
z = -2y = -2\cdot\tfrac{1}{2} = -1.
Até aqui temos uma candidata (x,y,z)=(0,\tfrac{1}{2},-1). Agora precisamos verificar se ela satisfaz todas as equações do sistema (lembrando que tínhamos 4 equações).
Ou seja, a candidata encontrada NÃO satisfaz a segunda equação. Como o sistema original contém todas as quatro equações, e essa tentativa falha numa delas, concluímos que o sistema é inconsistente: não existe tripla (x,y,z) que satisfaça simultaneamente as quatro equações. Em termos de matrizes, isso significa que a matriz identidade I NÃO está na combinação linear (no span) das matrizes A,B,C.
Passo 5
Interpretação final (didática rápida): temos um sistema sobredeterminado (quatro equações e três incógnitas). Mesmo encontrando valores que satisfazem três das equações, a quarta pode contradizer — e foi o que aconteceu. Portanto não há solução.