O enunciado dá o conjunto de vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{2}-5x_{3}=3.
Pede-se escolher, entre as alternativas (A) a (H), qual delas representa exatamente esse conjunto. Cada alternativa tem um vetor particular p somado ao subespaço gerado por três vetores (uma forma afim do tipo p+\operatorname{span}\{\cdot,\cdot,\cdot\}).
Informações relevantes dadas (tiradas diretamente do enunciado):
A condição sobre os vetores é x_{2}-5x_{3}=3.
Cada alternativa fornece um vetor particular e três vetores geradores do subespaço (fornecidos na própria alternativa).
Passo 2
Entendendo a estrutura do conjunto pedido (sem resolver nada ainda): toda solução de x_{2}-5x_{3}=3 pode ser escrita como um vetor particular p que satisfaz a equação mais qualquer combinação linear de vetores que satisfazem a equação homogênea associada x_{2}-5x_{3}=0. Vou mostrar isso com uma construção explícita que será usada para comparar com as opções.
Seja (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) solução de x_{2}-5x_{3}=3. Então podemos escolher x_{1},x_{3},x_{4} livremente e determinar x_{2} por
Essa descrição é útil: qualquer alternativa correta deve ter (i) um vetor particular p que satisfaça p_{2}-5p_{3}=3 e (ii) três vetores geradores que pertençam ao núcleo da aplicação linear x\mapsto x_{2}-5x_{3} (ou seja, para cada gerador v deve valer v_{2}-5v_{3}=0) e (iii) esses três geradores devem ser capazes de gerar todos os vetores do tipo homogêneo (dimensão 3). Na prática, checarei (i) e (ii) e verificarei que os três geradores são linearmente independentes (ou geram dimensão 3).
Passo 3
Regra prática de verificação (resumindo o que vou testar em cada alternativa):
Teste do vetor particular p: calcular p_{2}-5p_{3}. Deve ser 3.
Teste dos vetores geradores v: para cada gerador calcular v_{2}-5v_{3}. Deve ser 0 (então o gerador está no subespaço homogêneo).
Teste de completude (dimensão): representar cada gerador pelo tripé (v_{1},v_{3},v_{4}) (porque, dado v_{3}, o componente v_{2} deve ser 5v_{3} para vetores do núcleo) e formar a matriz 3\times3 com essas colunas; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os geradores são independentes e geram todo o subespaço homogêneo de dimensão 3.
Vou aplicar esses testes em cada alternativa.
Passo 4
Alternativa (A): o vetor particular é p=\begin{pmatrix}-3\\\ -7\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.
Teste do particular: p_{2}-5p_{3}=-7-5\cdot2=-7-10=-17\neq3. Portanto (A) está errada (o ponto particular não satisfaz a equação).
Para v_{3}: 0-5\cdot0=0. OK.
Todos os três geradores pertencem ao núcleo homogêneo. Agora verificar independência (com a representação (v_{1,1},v_{1,3},v_{1,4}) etc.):
Formo as colunas com os tripés (v_{j,1},v_{j,3},v_{j,4}):
Determinante não nulo implica que os três vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o subespaço homogêneo de dimensão 3. Assim (E) satisfaz os três testes e representa exatamente o conjunto.]
Passo 9
Verifico rapidamente as restantes por completude:
Alternativa (F): p=\begin{pmatrix}-3\\\ -7\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}. Já vimos que esse p não satisfaz p_{2}-5p_{3}=3 (da mesma forma que em A), então (F) está errada.
Alternativa (G): p=\begin{pmatrix}-1\\\ 18\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix} satisfaz 18-5\cdot3=3. Mas um dos geradores é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} cujo teste dá 0-5\cdot1=-5\neq0. Logo (G) está errada.
Alternativa (H): p=\begin{pmatrix}3\\\ 13\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} satisfaz 13-5\cdot2=3. Porém o primeiro gerador em (H) é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix} e para ele 1-5\cdot5=1-25=-24\neq0. Então (H) está errada.
Dessa verificação, apenas (E) passou todos os critérios.