Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que x_{2}-5 x_{3}=3 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -7 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 8 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 8 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 18 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 13 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -7 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 7\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 18 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 13 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{2}-5x_{3}=3.
Pede-se escolher, entre as alternativas (A) a (H), qual delas representa exatamente esse conjunto. Cada alternativa tem um vetor particular p somado ao subespaço gerado por três vetores (uma forma afim do tipo p+\operatorname{span}\{\cdot,\cdot,\cdot\}).
Informações relevantes dadas (tiradas diretamente do enunciado):
  • A condição sobre os vetores é x_{2}-5x_{3}=3.
  • Cada alternativa fornece um vetor particular e três vetores geradores do subespaço (fornecidos na própria alternativa).

Passo 2

Entendendo a estrutura do conjunto pedido (sem resolver nada ainda): toda solução de x_{2}-5x_{3}=3 pode ser escrita como um vetor particular p que satisfaz a equação mais qualquer combinação linear de vetores que satisfazem a equação homogênea associada x_{2}-5x_{3}=0. Vou mostrar isso com uma construção explícita que será usada para comparar com as opções.
Seja (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) solução de x_{2}-5x_{3}=3. Então podemos escolher x_{1},x_{3},x_{4} livremente e determinar x_{2} por
x_{2}=5x_{3}+3.
Logo todo vetor solução é
\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +x_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +x_{3}\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +x_{4}\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Isto mostra que o conjunto é o afim
\begin{pmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}+\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Essa descrição é útil: qualquer alternativa correta deve ter (i) um vetor particular p que satisfaça p_{2}-5p_{3}=3 e (ii) três vetores geradores que pertençam ao núcleo da aplicação linear x\mapsto x_{2}-5x_{3} (ou seja, para cada gerador v deve valer v_{2}-5v_{3}=0) e (iii) esses três geradores devem ser capazes de gerar todos os vetores do tipo homogêneo (dimensão 3). Na prática, checarei (i) e (ii) e verificarei que os três geradores são linearmente independentes (ou geram dimensão 3).

Passo 3

Regra prática de verificação (resumindo o que vou testar em cada alternativa):
  • Teste do vetor particular p: calcular p_{2}-5p_{3}. Deve ser 3.
  • Teste dos vetores geradores v: para cada gerador calcular v_{2}-5v_{3}. Deve ser 0 (então o gerador está no subespaço homogêneo).
  • Teste de completude (dimensão): representar cada gerador pelo tripé (v_{1},v_{3},v_{4}) (porque, dado v_{3}, o componente v_{2} deve ser 5v_{3} para vetores do núcleo) e formar a matriz 3\times3 com essas colunas; se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os geradores são independentes e geram todo o subespaço homogêneo de dimensão 3.
Vou aplicar esses testes em cada alternativa.

Passo 4

Alternativa (A): o vetor particular é p=\begin{pmatrix}-3\\\ -7\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}.
  • Teste do particular: p_{2}-5p_{3}=-7-5\cdot2=-7-10=-17\neq3. Portanto (A) está errada (o ponto particular não satisfaz a equação).

Passo 5

Alternativa (B): p=\begin{pmatrix}-2\\\ 8\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
  • Teste do particular: 8-5\cdot1=8-5=3. OK o particular satisfaz.
  • Geradores: v_{1}=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    • Para v_{1}: v_{1,2}-5v_{1,3}=0-5\cdot0=0. OK.
    • Para v_{2}: v_{2,2}-5v_{2,3}=0-5\cdot4= -20\neq0. Já falha: v_{2} não está no núcleo homogêneo. Logo (B) está errada.

Passo 6

Alternativa (C): p=\begin{pmatrix}-2\\\ 8\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix} (mesmo particular que em B).
  • Particular: 8-5\cdot1=3. OK.
  • Geradores: v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -5\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix}.
    • Para v_{1}: 0-5\cdot0=0. OK.
    • Para v_{2}: -5-5\cdot0=-5\neq0. Falha: v_{2} não está no núcleo. Então (C) está errada.

Passo 7

Alternativa (D): p=\begin{pmatrix}-1\\\ 18\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix}.
  • Particular: 18-5\cdot3=18-15=3. OK.
  • Geradores: v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
    • Para v_{1}: 0-5\cdot0=0. OK.
    • Para v_{2}: -3-5\cdot0=-3\neq0. Falha. Então (D) está errada.

Passo 8

Alternativa (E): p=\begin{pmatrix}3\\\ 13\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Particular: 13-5\cdot2=13-10=3. OK.
  • Geradores: v_{1}=\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{pmatrix}, v_{3}=\begin{pmatrix}6\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
    • Para v_{1}: 5-5\cdot1=5-5=0. OK.
    • Para v_{2}: 0-5\cdot0=0. OK.
    • Para v_{3}: 0-5\cdot0=0. OK.
      Todos os três geradores pertencem ao núcleo homogêneo. Agora verificar independência (com a representação (v_{1,1},v_{1,3},v_{1,4}) etc.):
Formo as colunas com os tripés (v_{j,1},v_{j,3},v_{j,4}):
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 6\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante (pode fazer à mão): expandindo pela primeira linha, ou observando que é uma permutação simples,
\det = 6\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&5\end{pmatrix}=6\cdot(1\cdot5-0)=30\neq0.
Determinante não nulo implica que os três vetores são linearmente independentes e, portanto, geram todo o subespaço homogêneo de dimensão 3. Assim (E) satisfaz os três testes e representa exatamente o conjunto.]

Passo 9

Verifico rapidamente as restantes por completude:
Alternativa (F): p=\begin{pmatrix}-3\\\ -7\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix}. Já vimos que esse p não satisfaz p_{2}-5p_{3}=3 (da mesma forma que em A), então (F) está errada.
Alternativa (G): p=\begin{pmatrix}-1\\\ 18\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix} satisfaz 18-5\cdot3=3. Mas um dos geradores é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} cujo teste dá 0-5\cdot1=-5\neq0. Logo (G) está errada.
Alternativa (H): p=\begin{pmatrix}3\\\ 13\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix} satisfaz 13-5\cdot2=3. Porém o primeiro gerador em (H) é \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix} e para ele 1-5\cdot5=1-25=-24\neq0. Então (H) está errada.
Dessa verificação, apenas (E) passou todos os critérios.

Resposta

(E)

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