Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-soluçāo de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \begin{array}{r}\left\{\begin{array}{r}5 x+2 y+6 z=7 \\\\ 3 x+9 y=8 \\\ x=4\end{array}\right. \\\ \left\{\begin{array}{r}15 x+6 y+18 z=21 \\\\ -36 x-32 z=-16\end{array}\right.\end{array}
(B) \left\{\begin{array}{r}-35 x-45 y-15 z=-10, \\\\ 24 y+8 z=12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}15 x+6 y+18 z=21, \\\\ -20 x-8 y-24 z=-28 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-25 x-10 y-30 z=-35 \text {, } \\\\ 36 x+32 z=16 \text {. }\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}21 x+15 y+6 z=18, \\\\ -28 x-20 y-8 z=-24 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}7 x+9 y+3 z=2, \\\\ 6 y+2 z=3, \\\\ 24 y+8 z=12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-25 x-10 y-30 z=-35, \\\\ 12 x+36 y=32, \\\ x=4 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}5 x+2 y+6 z=7 \\\\ -25 x-10 y-30 z=-35 \\\\ 3 x+9 y=8\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}20 x+8 y+24 z=28, \\\\ -45 x-40 z=-20 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pergunta: em qual das opções os dois sistemas dados têm conjuntos- solução de dimensão [1) (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3). Vou listar, exatamente como estão, os sistemas de cada opção:
  • Opção (A):
    • Sistema A1: \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
    • Sistema A2: \begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -36x-32z=-16. \end{cases}
  • Opção (B):
    • Sistema B1: \begin{cases} -35x-45y-15z=-10,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
    • Sistema B2: \begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
  • Opção (C):
    • Sistema C1: \begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16. \end{cases}
    • Sistema C2: \begin{cases} 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24. \end{cases}
  • Opção (D):
    • Sistema D1: \begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
    • Sistema D2: \begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}
  • Opção (E):
    • Sistema E1: \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
    • Sistema E2: \begin{cases} 20x+8y+24z=28,\\[4pt] -45x-40z=-20. \end{cases}
O que a resposta pede é: encontrar a opção na qual os dois sistemas têm conjunto-soluição com dimensão (1].]

Passo 2

Vou explicar o critério que vou usar (tudo em linguagem bem prática). Para um sistema linear com 3 incógnitas x,y,z:
  • Se o sistema for consistente, a dimensão do conjunto- solução é 3-\mathrm{rank}(A), onde A é a matriz dos coeficientes.
    • Se \mathrm{rank}(A)=3 então dimensão 0 (solução única).
    • Se \mathrm{rank}(A)=2 então dimensão 1 (reta).
    • Se \mathrm{rank}(A)=1 então dimensão 2 (plano).
  • Se o sistema for inconsistente (contradição), o conjunto-soluição é vazio.
Na prática eu verifico:
  • se há equações redundantes (uma é múltipla de outra) isso reduz o posto;
  • se há equação que fixa diretamente uma variável (ex.: x=4), isso pode forçar \mathrm{rank}(A)=3 e solução única;
  • frequentemente é mais rápido detectar proporcionalidade entre equações ou substituir para ver se resta exatamente uma liberdade (um parâmetro).
Vou aplicar esse raciocínio opção por opção.

Passo 3

Análise da opção (A).
  • Sistema A1:
    \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
    Aqui já temos x=4. Substituo em 3x+9y=8:
    3\cdot4+9y=8 \quad\Rightarrow\quad 12+9y=8 \quad\Rightarrow\quad 9y=-4 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{4}{9}.
    Substituo x=4 e y=-\dfrac{4}{9} em 5x+2y+6z=7:
    5\cdot4+2\left(-\frac{4}{9}\right)+6z=7 \quad\Rightarrow\quad 20-\frac{8}{9}+6z=7.
    Então
    6z=7-20+\frac{8}{9}=-13+\frac{8}{9}=-\frac{109}{9}\quad\Rightarrow\quad z=-\frac{109}{54}.
    Resultado: uma única solução (x,y,z). Portanto dimensão 0, não é reta.
  • Como já falhou (um dos dois sistemas da opção não é reta), a opção (A) não pode ser a resposta. Não preciso checar A2 para eliminar (A), mas por completude poderia-se checar depois; não é necessário aqui.]

Passo 4

Análise da opção (B).
  • Sistema B1:
    \begin{cases} -35x-45y-15z=-10,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
    Da segunda equação:
    24y+8z=12 \quad\Rightarrow\quad 6y+2z=3 \quad\Rightarrow\quad 3y+z=\tfrac{3}{2}.
    Logo z=\tfrac{3}{2}-3y\). Substituo na primeira: \[-35x-45y-15\Big(\tfrac{3}{2}-3y\Big)=-10.
    Calculo o termo em z: -15\cdot\tfrac{3}{2}=-\tfrac{45}{2} e -15\cdot(-3y)=+45y. Então a primeira fica
    -35x-45y +45y -\frac{45}{2}=-10 \quad\Rightarrow\quad -35x-\frac{45}{2}=-10.
    Assim
    -35x=\;-\;10+\frac{45}{2}=\frac{25}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{25}{70}=-\frac{5}{14}.
    Observação: y permaneceu livre (cancelou), e z depende de y. Logo há um parâmetro livre: conjunto-soluição é uma reta (dimensão 1). Boa.
  • Sistema B2:
    \begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
    Verifico se as equações são proporcionais. Divido coeficientes: -20/15=-\tfrac{4}{3}\], \(-8/6=-\tfrac{4}{3}, -24/18=-\tfrac{4}{3}. No lado direito, -28/21=-\tfrac{4}{3} também. Portanto a segunda equação é -\tfrac{4}{3} vezes a primeira: são dependentes e consistentes, ou seja o sistema efetivamente tem apenas uma equação independente (posto 1). Assim o conjunto-soluição tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão: em (B) o primeiro sistema é reta mas o segundo é plano, portanto (B) não serve.]

Passo 5

Análise da opção (C).
  • Sistema C1: \begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16. \end{cases}Da segunda equação: 36x+32z=16 \quad\Rightarrow\quad 9x+8z=4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4-8z}{9}.Da primeira equação isolo y\): \[-25x-10y-30z=-35 \quad\Rightarrow\quad -10y=-35+25x+30z,
y=\frac{35-25x-30z}{10}.
Substituindo x em termos de z obtém-se y também em função de z. Há um parâmetro livre z, logo dimensão 1 (reta). Sistema consistente.
  • Sistema C2: \begin{cases} 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24. \end{cases}Verifico proporcionalidade: -28/21=-\tfrac{4}{3}\], \(-20/15=-\tfrac{4}{3}, -8/6=-\tfrac{4}{3} e -24/18=-\tfrac{4}{3}. As duas equações são dependentes e consistentes, posto 1, então dimensão 2 (plano). Não é reta.
Conclusão: (C) falha porque o segundo sistema dá plano.]

Passo 6

Análise da opção (D).
  • Sistema D1: \begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}Note que 24y+8z=4\cdot(6y+2z)\) e \(4\cdot3=12\), logo a terceira equação é redundante. Ficam duas equações independentes: \[7x+9y+3z=2,\qquad 6y+2z=3.Da segunda: 2z=3-6y\Rightarrow z=\tfrac{3}{2}-3y. Substituo na primeira: 7x+9y+3\Big(\tfrac{3}{2}-3y\Big)=2 \quad\Rightarrow\quad 7x+9y+\tfrac{9}{2}-9y=2,
7x+\tfrac{9}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad 7x=-\tfrac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{5}{14}.
Aqui y é livre e z depende de y: solução é reta (dimensão 1).
  • Sistema D2: \begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}Como há x=4\], substituo: na segunda \(12\cdot4+36y=32\Rightarrow 48+36y=32\Rightarrow 36y=-16\Rightarrow y=-\tfrac{4}{9}. Substituo em primeira: -25\cdot4-10\Big(-\tfrac{4}{9}\Big)-30z=-35\quad\Rightarrow\quad -100+\tfrac{40}{9}-30z=-35.Assim -30z=-35+100-\tfrac{40}{9}=65-\tfrac{40}{9}=\tfrac{585-40}{9}=\tfrac{545}{9},
z=-\frac{545}{270}=-\frac{109}{54}.
Resultado: solução única (dimensão 0). Não é reta.
Conclusão: (D) falha porque o segundo sistema tem solução única.]

Passo 7

Análise da opção (E).
  • Sistema E1:
    \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
    Observação imediata: a segunda equação é -5\) vezes a primeira: \[-5\cdot(5x+2y+6z)= -25x-10y-30z\quad\text{e}\quad -5\cdot7=-35.
    Então a segunda é redundante. Sobram duas equações independentes:
    5x+2y+6z=7,\qquad 3x+9y=8.
    Duas equações, três incógnitas: tipicamente dimensão 1 se consistentes. Resolvo parametricamente: da segunda,
    3x+9y=8 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{8-9y}{3}.
    Substituo na primeira:
    5\cdot\frac{8-9y}{3}+2y+6z=7 \quad\Rightarrow\quad \frac{40-45y}{3}+2y+6z=7.
    Multiplico por 3:
    40-45y+6y+18z=21 \quad\Rightarrow\quad -39y+18z=-19.
    Assim
    y=\frac{18z+19}{39},
    e x obtém-se a partir de y. Há um parâmetro livre z: conjunto-solução é reta (dimensão 1).
  • Sistema E2:
    \begin{cases} 20x+8y+24z=28,\\[4pt] -45x-40z=-20. \end{cases}
    A primeira divisão por 4\] dá \(5x+2y+6z=7 (exatamente a primeira equação do E1). A segunda divide por -5 9x+8z=4 (ou multiplicando por -1 e dividindo). Escrevo:
    5x+2y+6z=7,\qquad 9x+8z=4.
    São duas equações independentes em x,y,z. Posso expressar x a partir da segunda:
    9x+8z=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4-8z}{9},
    e depois y a partir da primeira:
    5\cdot\frac{4-8z}{9}+2y+6z=7\\ \Rightarrow\\\ 2y=\text{(expressão em }z\text{)}.ã
    Assim z é parâmetro livre e x,y ficam determinados por z. Conjunto-solução é reta (dimensão 1).
Conclusão: em (E) ambos os sistemas têm posto 2 (duas equações independentes) e são consistentes, logo cada conjunto-solução tem dimensão 1. Portanto (E) é a opção que procuramos.]

Resposta

(E)

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