Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-soluçāo de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \begin{array}{r}\left\{\begin{array}{r}5 x+2 y+6 z=7 \\\\ 3 x+9 y=8 \\\ x=4\end{array}\right. \\\ \left\{\begin{array}{r}15 x+6 y+18 z=21 \\\\ -36 x-32 z=-16\end{array}\right.\end{array}
(B) \left\{\begin{array}{r}-35 x-45 y-15 z=-10, \\\\ 24 y+8 z=12 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}15 x+6 y+18 z=21, \\\\ -20 x-8 y-24 z=-28 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-25 x-10 y-30 z=-35 \text {, } \\\\ 36 x+32 z=16 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+15 y+6 z=18, \\\\ -28 x-20 y-8 z=-24 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}7 x+9 y+3 z=2, \\\\ 6 y+2 z=3, \\\\ 24 y+8 z=12 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-25 x-10 y-30 z=-35, \\\\ 12 x+36 y=32, \\\ x=4 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}5 x+2 y+6 z=7 \\\\ -25 x-10 y-30 z=-35 \\\\ 3 x+9 y=8\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}20 x+8 y+24 z=28, \\\\ -45 x-40 z=-20 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pergunta: em qual das opções os dois sistemas dados têm conjuntos- solução de dimensão [1) (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3). Vou listar, exatamente como estão, os sistemas de cada opção:
Opção (A):
Sistema A1:\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Sistema A2:\begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -36x-32z=-16. \end{cases}
Opção (B):
Sistema B1:\begin{cases} -35x-45y-15z=-10,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
Sistema B2:\begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
Opção (C):
Sistema C1:\begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16. \end{cases}
Sistema C2:\begin{cases} 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24. \end{cases}
Opção (D):
Sistema D1:\begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
Sistema D2:\begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Opção (E):
Sistema E1:\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Sistema E2:\begin{cases} 20x+8y+24z=28,\\[4pt] -45x-40z=-20. \end{cases}
O que a resposta pede é: encontrar a opção na qual os dois sistemas têm conjunto-soluição com dimensão (1].]
Passo 2
Vou explicar o critério que vou usar (tudo em linguagem bem prática). Para um sistema linear com 3 incógnitas x,y,z:
Se o sistema for consistente, a dimensão do conjunto- solução é 3-\mathrm{rank}(A), onde A é a matriz dos coeficientes.
Se \mathrm{rank}(A)=3 então dimensão 0 (solução única).
Se \mathrm{rank}(A)=2 então dimensão 1 (reta).
Se \mathrm{rank}(A)=1 então dimensão 2 (plano).
Se o sistema for inconsistente (contradição), o conjunto-soluição é vazio.
Na prática eu verifico:
se há equações redundantes (uma é múltipla de outra) isso reduz o posto;
se há equação que fixa diretamente uma variável (ex.: x=4), isso pode forçar \mathrm{rank}(A)=3 e solução única;
frequentemente é mais rápido detectar proporcionalidade entre equações ou substituir para ver se resta exatamente uma liberdade (um parâmetro).
Resultado: uma única solução (x,y,z). Portanto dimensão 0, não é reta.
Como já falhou (um dos dois sistemas da opção não é reta), a opção (A) não pode ser a resposta. Não preciso checar A2 para eliminar (A), mas por completude poderia-se checar depois; não é necessário aqui.]
Verifico se as equações são proporcionais. Divido coeficientes: -20/15=-\tfrac{4}{3}\], \(-8/6=-\tfrac{4}{3}, -24/18=-\tfrac{4}{3}. No lado direito, -28/21=-\tfrac{4}{3} também. Portanto a segunda equação é -\tfrac{4}{3} vezes a primeira: são dependentes e consistentes, ou seja o sistema efetivamente tem apenas uma equação independente (posto 1). Assim o conjunto-soluição tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão: em (B) o primeiro sistema é reta mas o segundo é plano, portanto (B) não serve.]
Passo 5
Análise da opção (C).
Sistema C1:\begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16. \end{cases}Da segunda equação:36x+32z=16 \quad\Rightarrow\quad 9x+8z=4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4-8z}{9}.Da primeira equação isolo y\):
\[-25x-10y-30z=-35 \quad\Rightarrow\quad -10y=-35+25x+30z,
y=\frac{35-25x-30z}{10}.
Substituindo x em termos de z obtém-se y também em função de z. Há um parâmetro livre z, logo dimensão 1 (reta). Sistema consistente.
Sistema C2:\begin{cases} 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24. \end{cases}Verifico proporcionalidade: -28/21=-\tfrac{4}{3}\], \(-20/15=-\tfrac{4}{3}, -8/6=-\tfrac{4}{3} e -24/18=-\tfrac{4}{3}. As duas equações são dependentes e consistentes, posto 1, então dimensão 2 (plano). Não é reta.
Conclusão: (C) falha porque o segundo sistema dá plano.]
Passo 6
Análise da opção (D).
Sistema D1:\begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}Note que 24y+8z=4\cdot(6y+2z)\) e \(4\cdot3=12\), logo a terceira equação é redundante. Ficam duas equações independentes:
\[7x+9y+3z=2,\qquad 6y+2z=3.Da segunda: 2z=3-6y\Rightarrow z=\tfrac{3}{2}-3y. Substituo na primeira:7x+9y+3\Big(\tfrac{3}{2}-3y\Big)=2 \quad\Rightarrow\quad 7x+9y+\tfrac{9}{2}-9y=2,
Aqui y é livre e z depende de y: solução é reta (dimensão 1).
Sistema D2:\begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}Como há x=4\], substituo: na segunda \(12\cdot4+36y=32\Rightarrow 48+36y=32\Rightarrow 36y=-16\Rightarrow y=-\tfrac{4}{9}. Substituo em primeira:-25\cdot4-10\Big(-\tfrac{4}{9}\Big)-30z=-35\quad\Rightarrow\quad -100+\tfrac{40}{9}-30z=-35.Assim-30z=-35+100-\tfrac{40}{9}=65-\tfrac{40}{9}=\tfrac{585-40}{9}=\tfrac{545}{9},
z=-\frac{545}{270}=-\frac{109}{54}.
Resultado: solução única (dimensão 0). Não é reta.
Conclusão: (D) falha porque o segundo sistema tem solução única.]
A primeira divisão por 4\] dá \(5x+2y+6z=7 (exatamente a primeira equação do E1). A segunda divide por -5 dá 9x+8z=4 (ou multiplicando por -1 e dividindo). Escrevo:
5x+2y+6z=7,\qquad 9x+8z=4.
São duas equações independentes em x,y,z. Posso expressar x a partir da segunda:
9x+8z=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4-8z}{9},
e depois y a partir da primeira:
5\cdot\frac{4-8z}{9}+2y+6z=7\\ \Rightarrow\\\ 2y=\text{(expressão em }z\text{)}.ã
Assim z é parâmetro livre e x,y ficam determinados por z. Conjunto-solução é reta (dimensão 1).
Conclusão: em (E) ambos os sistemas têm posto 2 (duas equações independentes) e são consistentes, logo cada conjunto-solução tem dimensão 1. Portanto (E) é a opção que procuramos.]