A pergunta é: qual é a dimensão de S? (As alternativas dadas vão de 2 a 13.)
Passo 2
Interpretação útil: S é o núcleo (espaço solução homogêneo) de um sistema linear em 13 incógnitas. Uma ferramenta-chave é o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity): para uma matriz de coeficientes com n colunas vale
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A),
ou seja, a dimensão do conjunto solução é o número de incógnitas n menos o posto (rank) das equações independentes. Aqui n=13. Nosso objetivo é encontrar quantas dessas três equações são linearmente independentes (ou seja, qual é o posto).
Passo 3
Escrevendo cada equação como um vetor de coeficientes em \mathbb{R}^{13}:
\begin{aligned} v_{1} &= e_{2}-e_{6}\quad\text{(representa \(x_{2}-x_{6}=0\))},\\ v_{2} &= e_{7}-e_{4}\quad\text{(representa \(x_{7}-x_{4}=0\))},\\ v_{3} &= e_{2}-e_{7}-e_{6}+e_{4}\quad\text{(representa \(x_{2}-x_{7}-x_{6}+x_{4}=0\), que é a terceira equação).} \end{aligned}éçã
Aqui e_i é o vetor canônico com 1 na coordenada i e 0 nas demais.
Portanto a terceira equação é uma combinação linear das duas primeiras — ela é redundante.
Passo 4
Verificar que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes: suponha a v_{1}+b v_{2}=0. Olhando a coordenada 2 obtemos a=0. Olhando a coordenada 7 obtemos b=0. Assim a=b=0. Logo v_{1} e v_{2} são independentes e geram o espaço das equações; o posto é
\operatorname{rank}(A)=2.
Passo 5
Aplicando Rank–Nullity com n=13 colunas e \operatorname{rank}(A)=2:
\dim(S)=13-2=11.
Intuição prática: das 13 coordenadas, apenas duas relações independentes restringem os valores; então sobra liberdade para escolher 11 coordenadas arbitrárias. Uma parametrização simples é escolher livremente \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{8},x_{9},x_{10},x_{11},x_{12},x_{13}\,
e definir \,x_{6}=x_{2} e \,x_{7}=x_{4}.