Prove, por indução, que
Passo 1
O enunciado pede que se prove, por indução, a igualdade abaixo, válida para todo
natural:
Informações relevantes dadas:
- A afirmação é uma fórmula para a soma dos primeiros
cubos. - O método exigido é prova por indução (ou seja, usar princípio da indução matemática).
- Não há outros dados numéricos; a prova deve funcionar para qualquer
.
Passo 2
Explicando o que é a prova por indução (passo didático).
- A prova por indução mostra que uma propriedade
é verdadeira para todo em dois passos: - Base: provar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que também é verdadeira.
- Base: provar que
- Se os dois passos são feitos corretamente, conclui-se que
vale para todo natural.
Aqui a propriedadeé exatamente a igualdade do enunciado.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
- Escrevendo
temos a soma dos primeiros cubos:
- Avaliando o lado direito da fórmula para
temos:
- Como
e o lado direito também é , a base é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que
seja verdadeira para algum
fixo e arbitrário.
- Ou seja, suponha que
- A tarefa agora é usar essa hipótese para provar
, isto é:
Passo 5
Desenvolvendo o passo indutivo: adicionar
aos dois lados da hipótese.
- Partindo da hipótese de indução:
- Somando
em ambos os lados:
Passo 6
Fazer as manipulações algébricas do lado direito para obter a forma desejada.
- Escrever o quadrado explicitamente no lado direito:
- Colocar fator comum
nas parcelas do lado direito (isso facilita ver o quadrado final):
- Somar as quantidades dentro do parêntese, colocando sobre o mesmo denominador
:
- Reconhecer que
. Portanto:
- Reescrever como um quadrado perfeito:
Passo 7
Concluir o passo indutivo e, então, a prova por indução.
- Mostramos que, assumindo
, obtemos exatamente
ou seja,
.
- Juntando a base
verdadeira e o passo indutivo, pelo princípio da indução matemática concluímos que a igualdade vale para todo .