Prove, por indução, que
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se prove, por indução, a igualdade abaixo, válida para todo n natural:
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}
Informações relevantes dadas:
  • A afirmação é uma fórmula para a soma dos primeiros n cubos.
  • O método exigido é prova por indução (ou seja, usar princípio da indução matemática).
  • Não há outros dados numéricos; a prova deve funcionar para qualquer n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Explicando o que é a prova por indução (passo didático).
  • A prova por indução mostra que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} em dois passos:
    1. Base: provar que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para um k arbitrário (hipótese de indução) e, a partir disso, provar que P(k+1) também é verdadeira.
  • Se os dois passos são feitos corretamente, conclui-se que P(n) vale para todo n natural.
    Aqui a propriedade P(n) é exatamente a igualdade do enunciado.

Passo 3

Base da indução: verificar P(1).
  • Escrevendo P(1) temos a soma dos primeiros 1 cubos:
1^{3}
  • Avaliando o lado direito da fórmula para n=1 temos:
\left[\frac{1(1+1)}{2}\right]^{2}=\left[\frac{1\cdot 2}{2}\right]^{2}=\left[1\right]^{2}=1
  • Como 1^{3}=1 e o lado direito também é 1, a base P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que P(k) seja verdadeira para algum k fixo e arbitrário.
  • Ou seja, suponha que
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^{2}.
  • A tarefa agora é usar essa hipótese para provar P(k+1), isto é:
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{2}.

Passo 5

Desenvolvendo o passo indutivo: adicionar (k+1)^{3} aos dois lados da hipótese.
  • Partindo da hipótese de indução:
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^{2}
  • Somando (k+1)^{3} em ambos os lados:
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}=\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^{2}+(k+1)^{3}

Passo 6

Fazer as manipulações algébricas do lado direito para obter a forma desejada.
  • Escrever o quadrado explicitamente no lado direito:
\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^{2}+(k+1)^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}
  • Colocar fator comum (k+1)^{2} nas parcelas do lado direito (isso facilita ver o quadrado final):
\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=(k+1)^{2}\left(\frac{k^{2}}{4}+(k+1)\right)
  • Somar as quantidades dentro do parêntese, colocando sobre o mesmo denominador 4:
\frac{k^{2}}{4}+(k+1)=\frac{k^{2}}{4}+\frac{4(k+1)}{4}=\frac{k^{2}+4k+4}{4}
  • Reconhecer que k^{2}+4k+4=(k+2)^{2}. Portanto:
(k+1)^{2}\left(\frac{k^{2}+4k+4}{4}\right)=(k+1)^{2}\left(\frac{(k+2)^{2}}{4}\right)
  • Reescrever como um quadrado perfeito:
(k+1)^{2}\left(\frac{(k+2)^{2}}{4}\right)=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{2}

Passo 7

Concluir o passo indutivo e, então, a prova por indução.
  • Mostramos que, assumindo P(k), obtemos exatamente
1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}=\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{2},
ou seja, P(k)\Rightarrow P(k+1).
  • Juntando a base P(1) verdadeira e o passo indutivo, pelo princípio da indução matemática concluímos que a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}

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