Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & 6 & -3 \\\\ -1 & 4 & 3 & 4 \\\\ 2 & 1 & 9 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear com quatro equações e três incógnitas (colunas de coeficientes + coluna dos termos independentes):
O que é pedido: assinalar o(s) valor(es) de k dentre as opções fornecidas para que o sistema tenha solução.
Passo 2
Estratégia e conceito importante (explicado devagar e sem pressa).
Vou usar operações elementares por linhas (somar múltiplos de linhas, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar diferente de zero) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular que facilite a leitura de possíveis contradições.
Conceito-chave: o sistema é inconsistente (não tem solução) quando, ao reduzir, aparece uma linha com todos os coeficientes iguais a zero e o termo independente diferente de zero, isto é, uma linha da forma
Portanto, vou reduzir a matriz e procurar se alguma linha do tipo acima aparece; se aparecer, imposto uma condição sobre k para evitar a contradição. Se a condição for satisfeita, o sistema tem solução.
Passo 3
Inicio a eliminação usando a primeira linha como pivô. As operações que vou fazer são:
Se k+2 \ne 0 então existe uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\ne 0, o que é uma contradição (equação 0= c impossível). Nesse caso o sistema seria inconsistente e não teria solução.
Para que o sistema tenha solução precisamos que essa linha não imponha contradição, ou seja, precisamos de
k+2=0.
Passo 8
Resolvo a condição:
k+2=0 \quad\Rightarrow\quad k=-2.
Com k=-2 a quarta linha vira [0\\\ 0\\\ 0 \mid 0], que é apenas uma linha redundante (não contradiz nada). As três primeiras linhas fornecem pivôs em colunas diferentes (rank =3), e como há 3 incógnitas isso produz uma solução única. Portanto o sistema tem solução exatamente quando k=-2.