Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & 6 & -3 \\\\ -1 & 4 & 3 & 4 \\\\ 2 & 1 & 9 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada do sistema linear com quatro equações e três incógnitas (colunas de coeficientes + coluna dos termos independentes):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 2 & -2 \\\\ 2 & 1 & 6 & -3 \\\\ -1 & 4 & 3 & 4 \\\\ 2 & 1 & 9 & k \end{array}\right]
O que é pedido: assinalar o(s) valor(es) de k dentre as opções fornecidas para que o sistema tenha solução.

Passo 2

Estratégia e conceito importante (explicado devagar e sem pressa).
  • Vou usar operações elementares por linhas (somar múltiplos de linhas, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar diferente de zero) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular que facilite a leitura de possíveis contradições.
  • Conceito-chave: o sistema é inconsistente (não tem solução) quando, ao reduzir, aparece uma linha com todos os coeficientes iguais a zero e o termo independente diferente de zero, isto é, uma linha da forma
\left[0\\\ 0\\\ 0 \mid c\right]\quad\text{com}\quad c\ne 0.
  • Portanto, vou reduzir a matriz e procurar se alguma linha do tipo acima aparece; se aparecer, imposto uma condição sobre k para evitar a contradição. Se a condição for satisfeita, o sistema tem solução.

Passo 3

Inicio a eliminação usando a primeira linha como pivô. As operações que vou fazer são:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 + R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - 2R_1. \end{aligned}
Agora calculo cada nova linha explicitamente (cada número dentro de ... é calculado):
  • Para R_2 - 2R_1:
\begin{aligned} &2-2\cdot1=0,\\\ &1-2\cdot(-1)=1+2=3,\\\ &6-2\cdot2=6-4=2,\\\ &-3-2\cdot(-2)=-3+4=1. \end{aligned}
Logo R_2' = [0\\\ 3\\\ 2 \mid 1].
  • Para R_3 + R_1:
\begin{aligned} &-1+1=0,\\\ &4+(-1)=3,\\\ &3+2=5,\\\ &4+(-2)=2. \end{aligned}
Logo R_3' = [0\\\ 3\\\ 5 \mid 2].
  • Para R_4 - 2R_1:
\begin{aligned} &2-2\cdot1=0,\\\ &1-2\cdot(-1)=1+2=3,\\\ &9-2\cdot2=9-4=5,\\\ &k-2\cdot(-2)=k+4. \end{aligned}
Logo R_4' = [0\\\ 3\\\ 5 \mid k+4].

Passo 4

A matriz após essas operações fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 5 & k+4 \end{array}\right].
Agora uso a segunda linha R_2' como pivô para eliminar o elemento da coluna 2 nas linhas 3 e 4.]

Passo 5

Faço as operações
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3 - R_2,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 - R_2. \end{aligned}
Calculo explicitamente:
  • Para R_3' - R_2':
\begin{aligned} &0-0=0,\\\ &3-3=0,\\\ &5-2=3,\\\ &2-1=1. \end{aligned}
Logo R_3'' = [0\\\ 0\\\ 3 \mid 1].
  • Para R_4' - R_2':
\begin{aligned} &0-0=0,\\\ &3-3=0,\\\ &5-2=3,\\\ &(k+4)-1=k+3. \end{aligned}
Logo R_4'' = [0\\\ 0\\\ 3 \mid k+3].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & k+3 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora elimino o termo da terceira coluna na quarta linha usando R_3'' como pivô:
R_4 \leftarrow R_4'' - R_3''.
Calculando:
\begin{aligned} &0-0=0,\\\ &0-0=0,\\\ &3-3=0,\\\ &(k+3)-1=k+2. \end{aligned}
Então a quarta linha fica
[0\\\ 0\\\ 0 \mid k+2].

Passo 7

Interpretação da última linha:
  • Se k+2 \ne 0 então existe uma linha da forma [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\ne 0, o que é uma contradição (equação 0= c impossível). Nesse caso o sistema seria inconsistente e não teria solução.
  • Para que o sistema tenha solução precisamos que essa linha não imponha contradição, ou seja, precisamos de
k+2=0.

Passo 8

Resolvo a condição:
k+2=0 \quad\Rightarrow\quad k=-2.
Com k=-2 a quarta linha vira [0\\\ 0\\\ 0 \mid 0], que é apenas uma linha redundante (não contradiz nada). As três primeiras linhas fornecem pivôs em colunas diferentes (rank =3), e como há 3 incógnitas isso produz uma solução única. Portanto o sistema tem solução exatamente quando k=-2.

Resposta

D) -2

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