Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-9 x-3 y-18 z=-15, \\\\ -25 y-45 z=-5 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+27 y+15 z=9, \\\\ 28 x+36 y+20 z=12 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{aligned} 7 x+9 y+5 z & =3, \\\ x+6 z & =4, \\\ x & =8 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+27 y+15 z=9, \\\\ 24 x+16 y=32 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-4 x-24 z=-16, \\\\ 5 x+30 z=20 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+7 z=9, \\\\ 6 x+4 y=8, \\\\ 18 x+12 y=24 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}7 x+9 y+5 z=3, \\\\ -21 x-27 y-15 z=-9, \\\ x+6 z=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-35 x-45 y-25 z & =-15, \\\\ -18 x-12 y & =-24 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}-21 x-27 y-15 z=-9, \\\\ -30 x-20 y=-40 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 9 x+15 y+21 z & =27, \\\\ 12 x+20 y+28 z & =36 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}3 x+y+6 z=5, \\\\ 5 y+9 z=1, \\\\ -25 y-45 z=-5 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-21 x-27 y-15 z=-9, \\\\ -5 x-30 z=-20, \\\ x=8 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: entre as opções (A)–(F), encontrar aquela em que, para os dois sistemas listados na opção, os conjuntos-solução têm dimensão 1 (isto é, são retas em \mathbb{R}^{3}).
Informações relevantes que temos (cada sistema é em x,y,z, portanto n=3 variáveis):
Para um sistema linear homogêneo/linear (consistente) em \mathbb{R}^{3}, se a matriz dos coeficientes tem posto r e o posto da matriz aumentada é igual a r, então o conjunto solução é um subespaço afim de dimensão 3-r.
Logo, para obter dimensão 1 precisamos que o posto dos coeficientes seja r=2 e que o sistema seja consistente (posto aumentada = 2).
Vou verificar, para cada sistema em cada opção, o posto (por inspeção de dependência linear entre equações) e a consistência; quando necessário, mostrarei como obter a solução paramétrica para confirmar que há exatamente um grau de liberdade (uma variável livre) — isto garante dimensão 1.
A segunda equação envolve apenas y,z\) (coeficiente de \(x\) é \(0\)), e a primeira tem coeficiente de \(x\) distinto de zero. As duas linhas de coeficientes
\[[-9,\,-3,\,-18]\quad\text{e}\quad[0,\,-25,\,-45]
não são múltiplas, logo o posto dos coeficientes é 2. Verificamos consistência resolvendo por parâmetros: da segunda equação
Observe que a segunda linha de coeficientes é \tfrac{4}{3}\] vezes a primeira:
\[28x+36y+20z=\tfrac{4}{3}(21x+27y+15z),\]
e o termo independente satisfaz \(12=\tfrac{4}{3}\cdot 9. Logo as duas equações são dependentes; o posto é 1. Como o posto é 1, o conjunto solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta. Conclusão: (A) NÃO satisfaz a condição (primeiro sistema linha, segundo plano).]
Multiplicando por 3: 168+27y-10=9 \Rightarrow 27y=9-158=-149 \Rightarrow y=-\dfrac{149}{27}.
Resultado: solução única (ponto), dimensão 0. Então o primeiro sistema não é uma reta. Logo (B) está descartada sem nem precisar checar o segundo sistema.]
Logo as equações são dependentes, posto =1, solução tem dimensão 2 (plano). Já falha para ser uma reta.
Mesmo que o segundo sistema da (C) seja linha (verificação rápida: as equações 6x+4y=8 e 18x+12y=24 são dependentes entre si, e combinadas com 3x+5y+7z=9 geram posto 2 e portanto reta), como o primeiro não é reta, (C) é descartada.]
Note que a segunda equação é -3\) vezes a primeira:
\[-21x-27y-15z=-3(7x+9y+5z)=-3\cdot 3=-9,
portanto é redundante. Assim o sistema efetivamente tem duas equações independentes:
7x+9y+5z=3,\qquad x+6z=4.
Essas duas não são múltiplas entre si (uma envolve y com coeficiente 9, a outra não tem y explícito), então o posto dos coeficientes é 2. Vamos mostrar que é consistente e resulta numa reta: da segunda x=4-6z. Substituindo na primeira:
As linhas de coeficientes são [-35,\,-45,\,-25]\] e \([-18,\,-12,\,0]. Não são múltiplas (o terceiro componente difere em zero), portanto o posto dos coeficientes é 2. Verificamos consistência e parametricidade: da segunda equação
-18x-12y=-24 \Rightarrow 3x+2y=4 \quad(\text{multiplicando por } -1/6).
Expressando y em função de x: 2y=4-3x \Rightarrow y=\dfrac{4-3x}{2}. Substituindo na primeira:
Isto dá x=\dfrac{30+10z}{13} e então y determinado por x; portanto z é livre e o conjunto solução é uma reta (dimensão 1). Conclusão: ambos os sistemas da opção (D) têm posto 2 e são consistentes, logo têm conjuntos-solução de dimensão 1.]
Passo 6
Verificação rápida das demais opções para descarte final:
(E) Primeiro sistema
-21x-27y-15z=-9,\quad -30x-20y=-40
tem, em geral, posto 2 (duas equações independentes). Mas o segundo sistema da (E)
9x+15y+21z=27,\quad 12x+20y+28z=36
tem a segunda equação igual a \tfrac{4}{3} da primeira (coeficientes e termos independentes), logo posto 1 e solução com dimensão 2. Assim (E) falha.
(F) Primeiro sistema
3x+y+6z=5,\quad 5y+9z=1,\quad -25y-45z=-5
a terceira é -5 vezes a segunda, então efetivamente duas equações independentes (posto 2) → reta. Porém o segundo sistema da (F)
-21x-27y-15z=-9,\quad -5x-30z=-20,\quad x=8
com x=8 fixa x e então fixa z e y (solução única), portanto dimensão 0. Assim (F) falha.
Portanto, entre todas as opções, apenas (D) tem os dois sistemas com conjuntos-solução de dimensão 1.