Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que 2 x_{2}+x_{4}=5 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 9\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 11\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 6 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 9\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 11\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} tais que
2x_{2}+x_{4}=5.
Pede-se escolher qual das alternativas (A)–(H), cada uma do tipo p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, representa exatamente esse conjunto.
Informações relevantes: cada alternativa fornece um vetor particular p\in\mathbb{R}^{4} e três vetores v_{1},v_{2},v_{3} que geram um subespaço. Para que a alternativa represente o conjunto pedido, o vetor particular deve satisfazer a equação e os vetores do span devem pertencer ao subespaço homogêneo associado à equação (ou seja, devem satisfazer 2x_{2}+x_{4}=0); além disso esses vetores devem gerar todo o espaço de soluções homogêneas.

Passo 2

Explicando a ideia geral (aula rápida, mas prática). A equação 2x_{2}+x_{4}=5 define um hiperplano afim. O procedimento padrão para escrever esse conjunto como p+W é:
  • Achar um vetor particular p que satisfaça 2p_{2}+p_{4}=5.
  • Determinar o subespaço homogêneo
W=\{w\in\mathbb{R}^{4}:2w_{2}+w_{4}=0\}.
As soluções gerais são p+W.
Parametrizando explicitamente: tome variáveis livres s,t,u para x_{1},x_{2},x_{3}. Da equação vem x_{4}=5-2x_{2}=5-2t. Logo
\begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix} + u\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix}.
Isto mostra que uma representação correta pode ser, por exemplo,
p=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix},\qquad W=\operatorname{span}\left\{\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}\right\}.
Regra de verificação prática para cada alternativa p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}:
  1. Verificar 2p_{2}+p_{4}=5.
  2. Verificar 2(v_i)_2+(v_i)_4=0 para cada i. Se algum v_i falhar, a alternativa é incorreta.
  3. Verificar (se necessário) que os v_i geram todo W (ou seja, são combinações escalares das bases acima).

Passo 3

Agora vou checar as alternativas uma a uma aplicando as duas verificações (1) e (2). Vou calcular 2p_{2}+p_{4} e, quando necessário, 2(v_i)_2+(v_i)_4. Usei os vetores exatamente como aparecem nas alternativas.
(A) p=\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 1\\\ 9\end{bmatrix}.
Calcular 2p_{2}+p_{4}=2(-1)+9=-2+9=7\neq5. Logo (A) está errada.

Passo 4

(B) p=\begin{bmatrix}-2\\\ -3\\\ 3\\\ 11\end{bmatrix}.
Calcular 2p_{2}+p_{4}=2(-3)+11=-6+11=5. Então o p atende a equação.
Verificar vetores do span:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}: 2\cdot0+0=0 OK.
  • v_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{bmatrix}: 2\cdot0+(-5)=-5\neq0 falha.
    Como existe v_{2} com 2(v_{2})_{2}+(v_{2})_{4}\neq0, a soma p+\operatorname{span}\{v_i\} produziria vetores que não satisfazem 2x_{2}+x_{4}=5. Portanto (B) está errada.

Passo 5

(C) p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix}.
2p_{2}+p_{4}=2\cdot2+1=4+1=5 ok.
Vetores:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}: 0 ok.
  • v_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 5\end{bmatrix}: 2\cdot0+5=5\neq0 falha.
    Portanto (C) está errada.

Passo 6

(D) p=\begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ -3\\\ 7\end{bmatrix}.
2p_{2}+p_{4}=2(-1)+7=-2+7=5 ok.
Vetores:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}: 2(-2)+1=-4+1=-3\neq0 falha.
    Logo (D) está errada (não é preciso checar os outros).

Passo 7

(E) p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix} (mesmo p de (C), então 2p_{2}+p_{4}=5 ok).
Vetores:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 0\end{bmatrix}: 0 ok.
  • v_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 6\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: 2\cdot6+0=12\neq0 falha.
    Logo (E) está errada.

Passo 8

(F) p=\begin{bmatrix}3\\\ -1\\\ 1\\\ 9\end{bmatrix}. Já verificamos em (A) que 2p_{2}+p_{4}=7\neq5. Logo (F) está errada.

Passo 9

(G) p=\begin{bmatrix}-2\\\ -3\\\ 3\\\ 11\end{bmatrix} (mesmo que em (B), então 2p_{2}+p_{4}=5 ok).
Vetores:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -2\\\ 0\end{bmatrix}: 0 ok.
  • v_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ -4\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: 2(-4)+0=-8\neq0 falha.
    Logo (G) está errada.

Passo 10

(H) p=\begin{bmatrix}2\\\ -1\\\ -3\\\ 7\end{bmatrix}.
Verificar p: 2p_{2}+p_{4}=2(-1)+7=-2+7=5. Ok, o p satisfaz a equação.
Agora os vetores do span:
  • v_{1}=\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix}: 2\cdot1+(-2)=2-2=0.
  • v_{2}=\begin{bmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: 2\cdot0+0=0.
  • v_{3}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{bmatrix}: 2\cdot0+0=0.
    Todos os três vetores satisfazem a condição homogênea 2x_{2}+x_{4}=0.
Além disso, eles geram os vetores básicos necessários para descrever W:
\begin{bmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} gera a direção de x_{1}, \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix} gera a relação entre x_{2} e x_{4}, e \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 7\\\ 0\end{bmatrix} gera a direção de x_{3}. Escalonando-os (por escalares) obtém-se uma base equivalente a \{\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}\}, que é exatamente o espaço homogêneo W da parametrização do Passo 2. Portanto os vetores do span geram todo W.
Conclui-se que (H) fornece um vetor particular correto e um span que é precisamente o subespaço homogêneo, logo (H) representa exatamente o conjunto pedido.

Resposta

(H)

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