Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede qual das opções é uma equação paramétrica desse plano, com
. Cada alternativa tem a forma
onde são fornecidos
(um ponto) e os vetores diretores
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Equação do plano:
. - Parâmetros:
. - Cada alternativa fornece um ponto
e dois vetores diretores .
O que o enunciado pede: escolher a alternativa cuja expressão paramétrica realmente descreve o plano dado.
Passo 2
Critério para aceitar uma expressão paramétrica do plano:
- Se
é um vetor normal do plano (coefs. da equação), então um ponto pertence ao plano quando
Isto significa substituir as coordenadas de
em
e verificar se dá
.
2. Vetores diretores e
que geram o plano devem estar contidos no plano, logo devem ser ortogonais ao normal:
2. Vetores diretores
Explicando por que isso é necessário (de forma simples): a equação
define um plano cujas direções possíveis são exatamente os vetores que, adicionados a um ponto do plano, não alteram o valor de
. Se
é o vetor de coeficientes, então para qualquer vetor diretor
do plano vale
.
Portanto, para cada alternativa verificaremos: (i) e (ii)
,
. Se ambas verdadeiras, a alternativa representa o plano.
Portanto, para cada alternativa verificaremos: (i)
Passo 3
Calcular o vetor normal:
Analisar a alternativa (A):
,
,
.
Verificar ponto:
Logo
satisfaz a equação do plano.
Verificar vetores diretores:
Ambos são zero, portanto
e
estão no plano. Conclusão: a alternativa (A) é válida.
Passo 4
Analisar a alternativa (B):
(mesmo ponto de (A)),
,
.
Ponto: já sabemos de (A) que
satisfaz
.
Verificar
:
Como
,
não está no plano; portanto (B) não representa o plano.
Passo 5
Analisar as alternativas (C) e (D): ambas usam
.
Verificar esse ponto:
Logo esse
NÃO pertence ao plano. Portanto (C) e (D) estão vetadas (independentemente dos vetores diretores).
Passo 6
Analisar a alternativa (E):
,
,
.
Verificar ponto:
Ponto OK.
Verificar
:
Portanto
não está no plano e (E) falha.
Passo 7
Analisar a alternativa (F):
(já verificado que pertence ao plano),
,
.
Verificar vetores:
Ambos não são zero, logo (F) também não representa o plano.
Passo 8
Das seis alternativas, apenas a (A) satisfaz simultaneamente que o ponto inicial pertence ao plano e que os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal
. Assim, a alternativa (A) é a única correta.
Resposta
(A)