Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-5 x+7 y+5 z=2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (-1,1,-2)+t(-20,0,-20)+s(0,15,-21)
(B) (-1,1,-2)+t(-22,0,-18)+s(0,23,-31)
(C) \left(1,-1, \frac{29}{5}\right)+t(-23,0,-17)+s(0,19,-27)
(D) \left(1,-1, \frac{29}{5}\right)+t(-20,0,-20)+s(0,15,-21)
(E) \left(1,-1, \frac{14}{5}\right)+t(-23,0,-17)+s(0,19,-27)
(F) \left(1,-1, \frac{14}{5}\right)+t(-22,0,-18)+s(0,23,-31)

Passo 1

O enunciado dá o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; -5x+7y+5z=2\} e pede qual das opções é uma equação paramétrica desse plano, com s,t\in\mathbb{R}. Cada alternativa tem a forma
\mathbf{r}(s,t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}+s\mathbf{w},
onde são fornecidos \mathbf{p} (um ponto) e os vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Equação do plano: -5x+7y+5z=2.
  • Parâmetros: s,t\in\mathbb{R}.
  • Cada alternativa fornece um ponto \mathbf{p} e dois vetores diretores \mathbf{v},\mathbf{w}.
    O que o enunciado pede: escolher a alternativa cuja expressão paramétrica realmente descreve o plano dado.

Passo 2

Critério para aceitar uma expressão paramétrica do plano:
  1. Se n=(-5,7,5) é um vetor normal do plano (coefs. da equação), então um ponto \mathbf{p} pertence ao plano quando
n\cdot\mathbf{p}=2.
Isto significa substituir as coordenadas de \mathbf{p} em -5x+7y+5z e verificar se dá 2.
2. Vetores diretores \mathbf{v} e \mathbf{w} que geram o plano devem estar contidos no plano, logo devem ser ortogonais ao normal:
n\cdot\mathbf{v}=0\quad\text{e}\quad n\cdot\mathbf{w}=0.
Explicando por que isso é necessário (de forma simples): a equação -5x+7y+5z=2 define um plano cujas direções possíveis são exatamente os vetores que, adicionados a um ponto do plano, não alteram o valor de -5x+7y+5z. Se n é o vetor de coeficientes, então para qualquer vetor diretor \mathbf{u} do plano vale n\cdot\mathbf{u}=0.
Portanto, para cada alternativa verificaremos: (i) n\cdot\mathbf{p}=2 e (ii) n\cdot\mathbf{v}=0, n\cdot\mathbf{w}=0. Se ambas verdadeiras, a alternativa representa o plano.

Passo 3

Calcular o vetor normal:
n = (-5,\,7,\,5).
Analisar a alternativa (A): \mathbf{p}=(-1,1,-2), \mathbf{v}=(-20,0,-20), \mathbf{w}=(0,15,-21).
Verificar ponto:
n\cdot\mathbf{p}=(-5)(-1)+7(1)+5(-2)=5+7-10=2.
Logo \mathbf{p} satisfaz a equação do plano.
Verificar vetores diretores:
n\cdot\mathbf{v}=(-5)(-20)+7\cdot 0 +5(-20)=100+0-100=0,
n\cdot\mathbf{w}=(-5)\cdot 0 +7\cdot 15 +5(-21)=0+105-105=0.
Ambos são zero, portanto \mathbf{v} e \mathbf{w} estão no plano. Conclusão: a alternativa (A) é válida.

Passo 4

Analisar a alternativa (B): \mathbf{p}=(-1,1,-2) (mesmo ponto de (A)), \mathbf{v}=(-22,0,-18), \mathbf{w}=(0,23,-31).
Ponto: já sabemos de (A) que \mathbf{p} satisfaz n\cdot\mathbf{p}=2.
Verificar \mathbf{v}:
n\cdot\mathbf{v}=(-5)(-22)+7\cdot 0 +5(-18)=110+0-90=20\neq 0.
Como n\cdot\mathbf{v}\neq 0, \mathbf{v} não está no plano; portanto (B) não representa o plano.

Passo 5

Analisar as alternativas (C) e (D): ambas usam \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{29}{5}).
Verificar esse ponto:
n\cdot\mathbf{p}=(-5)(1)+7(-1)+5\left(\tfrac{29}{5}\right)=-5-7+29=17\neq 2.
Logo esse \mathbf{p} NÃO pertence ao plano. Portanto (C) e (D) estão vetadas (independentemente dos vetores diretores).

Passo 6

Analisar a alternativa (E): \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{14}{5}), \mathbf{v}=(-23,0,-17), \mathbf{w}=(0,19,-27).
Verificar ponto:
n\cdot\mathbf{p}=(-5)(1)+7(-1)+5\left(\tfrac{14}{5}\right)=-5-7+14=2.
Ponto OK.
Verificar \mathbf{v}:
n\cdot\mathbf{v}=(-5)(-23)+7\cdot 0 +5(-17)=115+0-85=30\neq 0.
Portanto \mathbf{v} não está no plano e (E) falha.

Passo 7

Analisar a alternativa (F): \mathbf{p}=(1,-1,\tfrac{14}{5}) (já verificado que pertence ao plano), \mathbf{v}=(-22,0,-18), \mathbf{w}=(0,23,-31).
Verificar vetores:
n\cdot\mathbf{v}=(-5)(-22)+7\cdot 0 +5(-18)=110-90=20\neq 0,
n\cdot\mathbf{w}=(-5)\cdot 0 +7\cdot 23 +5(-31)=161-155=6\neq 0.
Ambos não são zero, logo (F) também não representa o plano.

Passo 8

Das seis alternativas, apenas a (A) satisfaz simultaneamente que o ponto inicial pertence ao plano e que os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal n=(-5,7,5). Assim, a alternativa (A) é a única correta.

Resposta

(A)

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