Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede qual das parametrizações abaixo, com
, descreve esse plano:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
O que é pedido: identificar qual alternativa realmente descreve o conjunto
.
Informações relevantes dadas:
- A equação do plano:
. - Cada alternativa fornece um ponto base
(o termo isolado) e dois vetores diretores e (os coeficientes de e ). - Para que uma parametrização represente o plano, é necessário:
- O ponto base
pertencer ao plano (satisfazer a equação). - Os vetores diretores
e estarem contidos no plano, isto é, serem ortogonais ao vetor normal do plano.
- O ponto base
Passo 2
Explicação didática do método que vou usar (sem pular etapas):
- Um plano em
com equação linear tem vetor normal . Aqui . - Uma parametrização do tipo
descreve um plano que passa por e contém os vetores e . Para esse plano coincidir com o dado, é preciso:
(i)satisfazer .
(ii)e satisfazerem e , porque vetores contidos no plano são ortogonais ao normal. - O produto escalar (dot product) entre dois vetores
e é definido por . Propriedade usada: se e somente se e são ortogonais. - Vou aplicar esses testes a cada alternativa: primeiro testar
na equação do plano; se falhar, elimino a alternativa; se passar, checo e .
Passo 3
Determinar o vetor normal:
- O coeficiente da equação
fornece .
Passo 4
Testar a alternativa (A):
- Ponto
. Substituir na equação:
. - Como
, o ponto base não pertence ao plano. Logo (A) está descartada.
Passo 5
Testar a alternativa (B):
- Ponto
(mesmo que em A), já calculado dá , não . - Logo (B) está descartada.
Passo 6
Testar a alternativa (C):
- Ponto
. Substituir:
. - O ponto pertence ao plano (boa).
- Vetores diretores:
e . - Calcular
:
. - Como
, o vetor não está no plano. Portanto (C) está descartada.
Passo 7
Testar a alternativa (D):
- Ponto
. Substituir:
. - O ponto pertence ao plano.
- Vetores diretores
e (mesmos de C). - Já calculamos
, então não está no plano. Logo (D) está descartada.
Passo 8
Testar a alternativa (E):
- Ponto
. Substituir (já feito no Passo 6) deu , portanto o ponto pertence ao plano. - Vetores diretores
e . - Calcular
:
. - Calcular
:
. - Ambos os produtos escalares são zero, portanto
e estão no plano. - Verificar que
e não são colineares: tem segunda componente e tem segunda componente ; logo não são múltiplos escalares, são linearmente independentes, então geram um plano. - Assim (E) satisfaz os testes e é uma parametrização válida do plano.
Passo 9
Testar a alternativa (F) (por completude):
- Ponto
. Substituir (já calculado no Passo 7) dá , então o ponto pertence ao plano. - Vetores diretores
e . - Calcular
:
. - Como
, não está no plano. Logo (F) está descartada.
Passo 10
Conclusão: entre todas as alternativas, apenas a alternativa (E) satisfaz simultaneamente que o ponto base pertence ao plano e que os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal (isto é, estão no plano) e são linearmente independentes. Portanto (E) é a parametrização correta.
Resposta
E