Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-5 x+7 y-2 z=2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) (-1,1,2)+t(4,0,-13)+s(0,-1,-17)
(B) (-1,1,2)+t(6,0,-15)+s(0,-8,-28)
(C) (-1,1,5)+t(7,0,-16)+s(0,-7,-11)
(D) (1,-1,-7)+t(7,0,-16)+s(0,-7,-11)
(E) (-1,1,5)+t(6,0,-15)+s(0,-8,-28)
(F) (1,-1,-7)+t(4,0,-13)+s(0,-1,-17)

Passo 1

O enunciado dá o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;-5x+7y-2z=2\} e pede qual das parametrizações abaixo, com s,t\in\mathbb{R}, descreve esse plano:
(A) (-1,1,2)+t(4,0,-13)+s(0,-1,-17)
(B) (-1,1,2)+t(6,0,-15)+s(0,-8,-28)
(C) (-1,1,5)+t(7,0,-16)+s(0,-7,-11)
(D) (1,-1,-7)+t(7,0,-16)+s(0,-7,-11)
(E) (-1,1,5)+t(6,0,-15)+s(0,-8,-28)
(F) (1,-1,-7)+t(4,0,-13)+s(0,-1,-17)
O que é pedido: identificar qual alternativa realmente descreve o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;-5x+7y-2z=2\}.
Informações relevantes dadas:
  • A equação do plano: -5x+7y-2z=2.
  • Cada alternativa fornece um ponto base P_0 (o termo isolado) e dois vetores diretores u e v (os coeficientes de t e s).
  • Para que uma parametrização represente o plano, é necessário:
    1. O ponto base P_0 pertencer ao plano (satisfazer a equação).
    2. Os vetores diretores u e v estarem contidos no plano, isto é, serem ortogonais ao vetor normal do plano.

Passo 2

Explicação didática do método que vou usar (sem pular etapas):
  • Um plano em \mathbb{R}^3 com equação linear ax+by+cz=d tem vetor normal n=(a,b,c). Aqui n=(-5,7,-2).
  • Uma parametrização do tipo P_0 + t\,u + s\,v descreve um plano que passa por P_0 e contém os vetores u e v. Para esse plano coincidir com o dado, é preciso:
    (i) P_0 satisfazer ax+by+cz=d.
    (ii) u e v satisfazerem n\cdot u = 0 e n\cdot v = 0, porque vetores contidos no plano são ortogonais ao normal.
  • O produto escalar (dot product) entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é definido por a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. Propriedade usada: a\cdot b = 0 se e somente se a e b são ortogonais.
  • Vou aplicar esses testes a cada alternativa: primeiro testar P_0 na equação do plano; se falhar, elimino a alternativa; se passar, checo n\cdot u e n\cdot v.

Passo 3

Determinar o vetor normal:
  • O coeficiente da equação -5x+7y-2z=2 fornece n = (-5,7,-2).

Passo 4

Testar a alternativa (A):
  • Ponto P_0 = (-1,1,2). Substituir na equação:
    -5\cdot(-1) + 7\cdot 1 -2\cdot 2 = 5 + 7 - 4 = 8.
  • Como 8 \neq 2, o ponto base não pertence ao plano. Logo (A) está descartada.

Passo 5

Testar a alternativa (B):
  • Ponto P_0 = (-1,1,2) (mesmo que em A), já calculado dá 8, não 2.
  • Logo (B) está descartada.

Passo 6

Testar a alternativa (C):
  • Ponto P_0 = (-1,1,5). Substituir:
    -5\cdot(-1) + 7\cdot 1 -2\cdot 5 = 5 + 7 -10 = 2.
  • O ponto pertence ao plano (boa).
  • Vetores diretores: u=(7,0,-16) e v=(0,-7,-11).
  • Calcular n\cdot u:
    n\cdot u = (-5)\cdot 7 + 7\cdot 0 + (-2)\cdot(-16) = -35 + 0 + 32 = -3.
  • Como n\cdot u = -3 \neq 0, o vetor u não está no plano. Portanto (C) está descartada.

Passo 7

Testar a alternativa (D):
  • Ponto P_0 = (1,-1,-7). Substituir:
    -5\cdot 1 + 7\cdot(-1) -2\cdot(-7) = -5 -7 +14 = 2.
  • O ponto pertence ao plano.
  • Vetores diretores u=(7,0,-16) e v=(0,-7,-11) (mesmos de C).
  • Já calculamos n\cdot u = -3 \neq 0, então u não está no plano. Logo (D) está descartada.

Passo 8

Testar a alternativa (E):
  • Ponto P_0 = (-1,1,5). Substituir (já feito no Passo 6) deu 2, portanto o ponto pertence ao plano.
  • Vetores diretores u=(6,0,-15) e v=(0,-8,-28).
  • Calcular n\cdot u:
    n\cdot u = (-5)\cdot 6 + 7\cdot 0 + (-2)\cdot(-15) = -30 + 0 + 30 = 0.
  • Calcular n\cdot v:
    n\cdot v = (-5)\cdot 0 + 7\cdot(-8) + (-2)\cdot(-28) = 0 -56 +56 = 0.
  • Ambos os produtos escalares são zero, portanto u e v estão no plano.
  • Verificar que u e v não são colineares: u tem segunda componente 0 e v tem segunda componente -8\neq 0; logo não são múltiplos escalares, são linearmente independentes, então geram um plano.
  • Assim (E) satisfaz os testes e é uma parametrização válida do plano.

Passo 9

Testar a alternativa (F) (por completude):
  • Ponto P_0 = (1,-1,-7). Substituir (já calculado no Passo 7) dá 2, então o ponto pertence ao plano.
  • Vetores diretores u=(4,0,-13) e v=(0,-1,-17).
  • Calcular n\cdot u:
    n\cdot u = (-5)\cdot 4 + 7\cdot 0 + (-2)\cdot(-13) = -20 + 0 + 26 = 6.
  • Como 6 \neq 0, u não está no plano. Logo (F) está descartada.

Passo 10

Conclusão: entre todas as alternativas, apenas a alternativa (E) satisfaz simultaneamente que o ponto base pertence ao plano e que os dois vetores diretores são ortogonais ao vetor normal (isto é, estão no plano) e são linearmente independentes. Portanto (E) é a parametrização correta.

Resposta

E

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