Mostre analicamente que os ângulos opostos aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles e pede para mostrar analiticamente que os ângulos opostos aos lados iguais são iguais.
Informações fornecidas:
  • Existe um triângulo \triangle ABC com os lados \overline{AB} e \overline{AC} iguais, isto é, \,AB = AC.
  • A pergunta é: provar que os ângulos opostos a esses lados são iguais, isto é, provar que \angle ABC = \angle ACB.

Passo 2

Estratégia e construção geométrica simples que vamos usar (sem resolver ainda): construir o ponto médio do lado \overline{BC} e então comparar os dois triângulos formados. Definição que usamos:
  • Um ponto D é o ponto médio do segmento \overline{BC} se D pertence a \overline{BC} e BD = DC.
Agora definimos esse ponto D: seja D o ponto médio de \overline{BC}, isto é, D está sobre \overline{BC} e satisfaz BD = DC.

Passo 3

Listar os comprimentos que conhecemos e que serão úteis nos dois triângulos \triangle ABD e \triangle ACD.
Temos:
  • Pelo enunciado, AB = AC.
  • Pela construção de D como ponto médio, BD = DC.
  • O segmento \overline{AD} é comum aos dois triângulos, então AD = AD.
Em forma concentrada:
AB = AC,\qquad BD = DC,\qquad AD = AD.

Passo 4

Aplicar o critério de congruência SSS (lado-lado-lado). Explicação didática do que é esse critério e por que podemos usá-lo:
O postulado SSS diz: se em dois triângulos os três lados de um triângulo são, respectivamente, congruentes aos três lados do outro triângulo, então os dois triângulos são congruentes (isto é, têm a mesma forma e tamanho). Em outras palavras, igualdade das três correspondentes pares de comprimentos de lados força igualdade de todos os elementos correspondentes (ângulos e lados).
No nosso caso, comparando \triangle ABD com \triangle ACD, os pares de lados correspondentes são:
AB \leftrightarrow AC,\qquad BD \leftrightarrow DC,\qquad AD \leftrightarrow AD,
e todos esses pares são iguais conforme listado no passo anterior. Logo, pelo critério SSS, concluímos que \triangle ABD é congruente a \triangle ACD.

Passo 5

Consequência da congruência: ângulos correspondentes são iguais.
Como \triangle ABD é congruente a \triangle ACD, cada ângulo de \triangle ABD tem o mesmo valor do ângulo correspondente em \triangle ACD. Em particular, o ângulo no vértice B do triângulo original corresponde ao ângulo no vértice C. Mais formalmente:
  • O ângulo \angle ABD (ângulo formado por \overline{BA} e \overline{BD}) é congruente a \angle ACD (ângulo formado por \overline{CA} e \overline{CD}).
Agora relacionamos esses ângulos com os ângulos do triângulo original:
  • Como D está em \overline{BC}, o segmento \overline{BD} está na mesma reta/semirreta que \overline{BC}, portanto \angle ABD é exatamente o ângulo \angle ABC do triângulo \triangle ABC.
  • De modo análogo, \angle ACD é exatamente o ângulo \angle ACB.
Portanto, da congruência segue que
\angle ABC = \angle ACB.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (para decorar e usar na prova):
  • Construir D ponto médio de \overline{BC} (então BD=DC).
  • Comparar \triangle ABD e \triangle ACD: têm AB=AC (dado), BD=DC (ponto médio), AD=AD (comum).
  • Pelo critério SSS, os triângulos são congruentes, logo os ângulos base \angle ABC e \angle ACB são iguais.
Força aí, essa é a prova clássica e curta: igualdade de lados → congruência por SSS → igualdade de ângulos opostos.

Resposta

\angle ABC = \angle ACB

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