O enunciado pergunta: para cada letra (A), (B), (C), (D), (E), (F) há dois sistemas lineares em [x,y,z); em qual opção os conjuntos-solução dos dois sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3)?
Vou listar, exatamente como dados, os sistemas de cada opção (peguei as equações do enunciado):
Observação importante: no enunciado fornecido a opção (C) contém somente esse sistema; não há um segundo sistema listado para (C). Como a pergunta exige comparar “ambos os sistemas” da mesma opção, isso deixa (C) incompleta no texto recebido.
O que o enunciado pede de forma operacional: identificar, para cada par de sistemas numa mesma opção, se o conjunto solução de cada sistema é uma reta em (\mathbb{R}^3]. Vou testar cada sistema e decidir a dimensão do seu conjunto solução.
Passo 2
Breve lembrança/mini-aula útil (fórmulas e conceito que usarei).
Temos 3 variáveis (x,y,z). Para um sistema linear consistente em 3 variáveis, o espaço afim solução tem dimensão
\text{dimensão} = 3 - \operatorname{rank}(A),ã
onde A é a matriz dos coeficientes (e \operatorname{rank}(A) é o número de equações linearmente independentes entre as linhas da matriz de coeficientes).
Para o conjunto-solução ser uma reta em \mathbb{R}^3 (dimensão 1), precisamos de
\operatorname{rank}(A)=2
e o sistema deve ser consistente (ou seja, a matriz aumentada tem o mesmo posto que A).
Como proceder na prática:
Verifico se há equações dependentes (uma é múltiplo linear de outra, ou combinações lineares entre elas). Isso mostra \operatorname{rank} reduzido.
Confirmo consistência (normalmente, quando as equações dependentes têm a mesma combinação nas constantes, é consistente).
Conto o número de equações independentes: se for 2 e o sistema consistente, então dimensão 1.
Note que a segunda equação é [-1) vezes a primeira: -1\cdot(9x+3y)= -9x-3y e -1\cdot24=-24. Logo as duas equações são dependentes e há apenas uma equação independente. Assim \operatorname{rank}(A)=1. Para 3 variáveis, dimensão do conjunto solução é 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Observe que a terceira equação é 4\] vezes a segunda: \(4\cdot(3y+8z)=12y+32z e 4\cdot4=16. Logo a terceira é dependente da segunda. As duas equações independentes são a primeira e a segunda, então \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (não há contradição nas constantes), portanto a dimensão do conjunto solução é 3-2=1 (uma reta).
Conclusão para (A): A1 tem dimensão 2, A2 tem dimensão 1. Como precisamos de ambas terem dimensão 1, a opção (A) não satisfaz.
A terceira equação é [-4) vezes a segunda: -4\cdot(5x+2z) = -20x-8z e -4\cdot1=-4. Então a terceira é dependente; restam duas equações independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente, então dimensão do conjunto solução é 1 (reta).
A terceira equação fixa y=4\]. Substituindo em \(-12x-4y=-32 dá -12x-16=-32\Rightarrow -12x=-16\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x e y na primeira equação determina z de maneira única. Assim há uma solução única (um ponto), o que corresponde a \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão 0, não uma reta.
Conclusão para (B): B1 tem dimensão 1 mas B2 tem dimensão 0. Logo (B) não satisfaz.
Observe que a segunda equação é 5 vezes a primeira: 5\cdot(2x+6y+5z)=10x+30y+25z e 5\cdot7=35. Então a segunda é dependente; restam duas equações independentes: 2x+6y+5z=7 e 3x+y=8. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente, logo a dimensão do conjunto solução é 1 (uma reta).
Observação crucial: no enunciado recebido a opção (C) NÃO fornece um segundo sistema para comparar; portanto a condição “ambos os sistemas têm dimensão 1” não pode ser verificada para (C) porque falta um dos sistemas na formulação que foi enviada. Por isso, com o enunciado atual, (C) está incompleta e não é possível afirmar que os “dois sistemas” de (C) têm dimensão 1 (simplesmente porque só há um listado).
São duas equações com coeficientes diferentes e não múltiplos uma da outra (a primeira tem componente em [x), a segunda não), logo tipicamente há duas equações independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o conjunto solução tem dimensão 1 (reta), assumindo consistência (não há contradição óbvia).
Verifique relação de dependência: multiplicando a primeira equação por -\tfrac{30}{24}=-\tfrac{5}{4}=-1{,}25\] obtemos
\[-\tfrac{5}{4}\cdot(24x+28y+8z)= -30x-35y-10z\]
e o lado direito constante fica \(20\cdot(-\tfrac{5}{4})=-25. Portanto a segunda equação é -\tfrac{5}{4} vezes a primeira; as duas fornecidas são dependentes e há apenas uma equação independente. Assim \operatorname{rank}(A)=1 e a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão para (D): D1 é reta (dim 1) mas D2 é plano (dim 2); logo (D) não satisfaz.
As duas equações não são múltiplos uma da outra (a primeira tem [y), a segunda não), logo são, em geral, independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e, se consistente, a solução tem dimensão 1 (reta).
Note que a segunda é -\tfrac{5}{4}\] vezes a primeira (como em casos anteriores): \(-\tfrac{5}{4}\cdot(8x+24y+20z)= -10x-30y-25z e -\tfrac{5}{4}\cdot28=-35. Logo as duas equações são dependentes e há apenas uma equação independente, dando \operatorname{rank}(A)=1 e solução de dimensão 2 (plano), não uma reta.
Conclusão para (E): E1 tem dim 1 mas E2 tem dim 2; portanto (E) não satisfaz.
A terceira equação fixa [y=4). Substituindo em 3x+y=8 dá 3x+4=8\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x,y na primeira equação determina z de maneira única. Logo o sistema tem uma solução única (ponto), dimensão 0. Portanto não é uma reta.
Essas duas equações são, em geral, independentes (a primeira envolve x\] e a segunda não), então \(\operatorname{rank}(A)=2. Se consistente, o conjunto solução tem dimensão 1 (reta).
Conclusão para (F): F1 tem dimensão 0 (ponto) e F2 tem dimensão 1. Então (F) não satisfaz.
Passo 9
Resumo das conclusões (aplicando o critério “ambos os sistemas devem ter dimensão 1”):
(A): A1 dim 2, A2 dim 1 → não.
(B): B1 dim 1, B2 dim 0 → não.
(C): C1 dim 1, segundo sistema NÃO FORNECIDO no enunciado → impossível verificar; (C) está incompleta nos dados recebidos.
(D): D1 dim 1, D2 dim 2 → não.
(E): E1 dim 1, E2 dim 2 → não.
(F): F1 dim 0, F2 dim 1 → não.
Portanto, entre as opções completamente fornecidas (A, B, D, E, F), nenhuma tem os dois sistemas com dimensão 1. Além disso, a opção (C) não tem o segundo sistema listado, logo não é possível confirmar que (C) satisfaça a condição.
Resposta
Nenhuma das opções (os dados fornecidos mostram que nenhuma opção tem ambos os sistemas com dimensão 1; além disso a opção (C) está incompleta no enunciado).