Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}9 x+3 y=24, \\\\ -9 x-3 y=-24 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+2 z=5, \\\\ 3 y+8 z=4, \\\\ 12 y+32 z=16 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}3 x+7 y+z=2, \\\\ 5 x+2 z=1, \\\\ -20 x-8 z=-4 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 x-4 y=-32, \\\ y=4 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+5 z=7, \\\\ 10 x+30 y+25 z=35, \\\\ 3 x+y=8 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+25 z=35, \\\\ -12 y-32 z=-16 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}24 x+28 y+8 z=20, \\\\ -30 x-35 y-10 z=-25 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{aligned} 15 x+35 y+5 z & =10, \\\\ -20 x-8 z & =-4 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}8 x+24 y+20 z=28, \\\\ -10 x-30 y-25 z=-35 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+5 z & =7, \\\\ 3 x+y & =8, \\\ y & =4 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r} 8 x+24 y+20 z=28 \\\\ -15 y-40 z=-20 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pergunta: para cada letra (A), (B), (C), (D), (E), (F) há dois sistemas lineares em [x,y,z); em qual opção os conjuntos-solução dos dois sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3)?
Vou listar, exatamente como dados, os sistemas de cada opção (peguei as equações do enunciado):
  • (A) Sistema A1:
    \begin{cases} 9x+3y=24,\\\\ -9x-3y=-24. \end{cases}
    Sistema A2:
    \begin{cases} 6x+7y+2z=5,\\\\ 3y+8z=4,\\\\ 12y+32z=16. \end{cases}
  • (B) Sistema B1:
    \begin{cases} 3x+7y+z=2,\\\\ 5x+2z=1,\\\\ -20x-8z=-4. \end{cases}
    Sistema B2:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\\\ -12x-4y=-32,\\\ y=4. \end{cases}
  • (C) Sistema C1 (aparece apenas este no enunciado):
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\\\ 10x+30y+25z=35,\\\\ 3x+y=8. \end{cases}
    Observação importante: no enunciado fornecido a opção (C) contém somente esse sistema; não há um segundo sistema listado para (C). Como a pergunta exige comparar “ambos os sistemas” da mesma opção, isso deixa (C) incompleta no texto recebido.
  • (D) Sistema D1:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\\\ -12y-32z=-16. \end{cases}
    Sistema D2:
    \begin{cases} 24x+28y+8z=20,\\\\ -30x-35y-10z=-25. \end{cases}
  • (E) Sistema E1:
    \begin{cases} 15x+35y+5z=10,\\\\ -20x-8z=-4. \end{cases}
    Sistema E2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\\\ -10x-30y-25z=-35. \end{cases}
  • (F) Sistema F1:
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\\\ 3x+y=8,\\\ y=4. \end{cases}
    Sistema F2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\\\ -15y-40z=-20. \end{cases}
O que o enunciado pede de forma operacional: identificar, para cada par de sistemas numa mesma opção, se o conjunto solução de cada sistema é uma reta em (\mathbb{R}^3]. Vou testar cada sistema e decidir a dimensão do seu conjunto solução.

Passo 2

Breve lembrança/mini-aula útil (fórmulas e conceito que usarei).
  • Temos 3 variáveis (x,y,z). Para um sistema linear consistente em 3 variáveis, o espaço afim solução tem dimensão
    \text{dimensão} = 3 - \operatorname{rank}(A),ã
    onde A é a matriz dos coeficientes (e \operatorname{rank}(A) é o número de equações linearmente independentes entre as linhas da matriz de coeficientes).
  • Para o conjunto-solução ser uma reta em \mathbb{R}^3 (dimensão 1), precisamos de
    \operatorname{rank}(A)=2
    e o sistema deve ser consistente (ou seja, a matriz aumentada tem o mesmo posto que A).
  • Como proceder na prática:
    • Verifico se há equações dependentes (uma é múltiplo linear de outra, ou combinações lineares entre elas). Isso mostra \operatorname{rank} reduzido.
    • Confirmo consistência (normalmente, quando as equações dependentes têm a mesma combinação nas constantes, é consistente).
    • Conto o número de equações independentes: se for 2 e o sistema consistente, então dimensão 1.
Agora aplico isso sistema a sistema.

Passo 3

Opção (A).
  • Sistema A1:
    \begin{cases} 9x+3y=24,\\\\ -9x-3y=-24. \end{cases}
    Note que a segunda equação é [-1) vezes a primeira: -1\cdot(9x+3y)= -9x-3y e -1\cdot24=-24. Logo as duas equações são dependentes e há apenas uma equação independente. Assim \operatorname{rank}(A)=1. Para 3 variáveis, dimensão do conjunto solução é 3-1=2 (um plano), não uma reta.
  • Sistema A2:
    \begin{cases} 6x+7y+2z=5,\\\\ 3y+8z=4,\\\\ 12y+32z=16. \end{cases}
    Observe que a terceira equação é 4\] vezes a segunda: \(4\cdot(3y+8z)=12y+32z e 4\cdot4=16. Logo a terceira é dependente da segunda. As duas equações independentes são a primeira e a segunda, então \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente (não há contradição nas constantes), portanto a dimensão do conjunto solução é 3-2=1 (uma reta).
Conclusão para (A): A1 tem dimensão 2, A2 tem dimensão 1. Como precisamos de ambas terem dimensão 1, a opção (A) não satisfaz.

Passo 4

Opção (B).
  • Sistema B1:
    \begin{cases} 3x+7y+z=2,\\\\ 5x+2z=1,\\\\ -20x-8z=-4. \end{cases}
    A terceira equação é [-4) vezes a segunda: -4\cdot(5x+2z) = -20x-8z e -4\cdot1=-4. Então a terceira é dependente; restam duas equações independentes. Logo \operatorname{rank}(A)=2. O sistema é consistente, então dimensão do conjunto solução é 1 (reta).
  • Sistema B2:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\\\ -12x-4y=-32,\\\ y=4. \end{cases}
    A terceira equação fixa y=4\]. Substituindo em \(-12x-4y=-32 -12x-16=-32\Rightarrow -12x=-16\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x e y na primeira equação determina z de maneira única. Assim há uma solução única (um ponto), o que corresponde a \operatorname{rank}(A)=3 e dimensão 0, não uma reta.
Conclusão para (B): B1 tem dimensão 1 mas B2 tem dimensão 0. Logo (B) não satisfaz.

Passo 5

Opção (C).
  • Sistema C1:
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\\\ 10x+30y+25z=35,\\\\ 3x+y=8. \end{cases}
    Observe que a segunda equação é 5 vezes a primeira: 5\cdot(2x+6y+5z)=10x+30y+25z e 5\cdot7=35. Então a segunda é dependente; restam duas equações independentes: 2x+6y+5z=7 e 3x+y=8. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema é consistente, logo a dimensão do conjunto solução é 1 (uma reta).
  • Observação crucial: no enunciado recebido a opção (C) NÃO fornece um segundo sistema para comparar; portanto a condição “ambos os sistemas têm dimensão 1” não pode ser verificada para (C) porque falta um dos sistemas na formulação que foi enviada. Por isso, com o enunciado atual, (C) está incompleta e não é possível afirmar que os “dois sistemas” de (C) têm dimensão 1 (simplesmente porque só há um listado).

Passo 6

Opção (D).
  • Sistema D1:
    \begin{cases} 10x+30y+25z=35,\\\\ -12y-32z=-16. \end{cases}
    São duas equações com coeficientes diferentes e não múltiplos uma da outra (a primeira tem componente em [x), a segunda não), logo tipicamente há duas equações independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o conjunto solução tem dimensão 1 (reta), assumindo consistência (não há contradição óbvia).
  • Sistema D2:
    \begin{cases} 24x+28y+8z=20,\\\\ -30x-35y-10z=-25. \end{cases}
    Verifique relação de dependência: multiplicando a primeira equação por -\tfrac{30}{24}=-\tfrac{5}{4}=-1{,}25\] obtemos \[-\tfrac{5}{4}\cdot(24x+28y+8z)= -30x-35y-10z\] e o lado direito constante fica \(20\cdot(-\tfrac{5}{4})=-25. Portanto a segunda equação é -\tfrac{5}{4} vezes a primeira; as duas fornecidas são dependentes e há apenas uma equação independente. Assim \operatorname{rank}(A)=1 e a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), não uma reta.
Conclusão para (D): D1 é reta (dim 1) mas D2 é plano (dim 2); logo (D) não satisfaz.

Passo 7

Opção (E).
  • Sistema E1:
    \begin{cases} 15x+35y+5z=10,\\\\ -20x-8z=-4. \end{cases}
    As duas equações não são múltiplos uma da outra (a primeira tem [y), a segunda não), logo são, em geral, independentes. Assim \operatorname{rank}(A)=2 e, se consistente, a solução tem dimensão 1 (reta).
  • Sistema E2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\\\ -10x-30y-25z=-35. \end{cases}
    Note que a segunda é -\tfrac{5}{4}\] vezes a primeira (como em casos anteriores): \(-\tfrac{5}{4}\cdot(8x+24y+20z)= -10x-30y-25z e -\tfrac{5}{4}\cdot28=-35. Logo as duas equações são dependentes e há apenas uma equação independente, dando \operatorname{rank}(A)=1 e solução de dimensão 2 (plano), não uma reta.
Conclusão para (E): E1 tem dim 1 mas E2 tem dim 2; portanto (E) não satisfaz.

Passo 8

Opção (F).
  • Sistema F1:
    \begin{cases} 2x+6y+5z=7,\\\\ 3x+y=8,\\\ y=4. \end{cases}
    A terceira equação fixa [y=4). Substituindo em 3x+y=8 3x+4=8\Rightarrow x=\tfrac{4}{3}. Substituindo x,y na primeira equação determina z de maneira única. Logo o sistema tem uma solução única (ponto), dimensão 0. Portanto não é uma reta.
  • Sistema F2:
    \begin{cases} 8x+24y+20z=28,\\\\ -15y-40z=-20. \end{cases}
    Essas duas equações são, em geral, independentes (a primeira envolve x\] e a segunda não), então \(\operatorname{rank}(A)=2. Se consistente, o conjunto solução tem dimensão 1 (reta).
Conclusão para (F): F1 tem dimensão 0 (ponto) e F2 tem dimensão 1. Então (F) não satisfaz.

Passo 9

Resumo das conclusões (aplicando o critério “ambos os sistemas devem ter dimensão 1”):
  • (A): A1 dim 2, A2 dim 1 → não.
  • (B): B1 dim 1, B2 dim 0 → não.
  • (C): C1 dim 1, segundo sistema NÃO FORNECIDO no enunciado → impossível verificar; (C) está incompleta nos dados recebidos.
  • (D): D1 dim 1, D2 dim 2 → não.
  • (E): E1 dim 1, E2 dim 2 → não.
  • (F): F1 dim 0, F2 dim 1 → não.
Portanto, entre as opções completamente fornecidas (A, B, D, E, F), nenhuma tem os dois sistemas com dimensão 1. Além disso, a opção (C) não tem o segundo sistema listado, logo não é possível confirmar que (C) satisfaça a condição.

Resposta

Nenhuma das opções (os dados fornecidos mostram que nenhuma opção tem ambos os sistemas com dimensão 1; além disso a opção (C) está incompleta no enunciado).

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