Q11: Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Só I é verdadeira.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto
{(0,0,0,0)} \subset \mathbb{R}^{4}) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
A) Todas são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Só I é verdadeira.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto
{(0,0,0,0)} \subset \mathbb{R}^{4}) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais em espaços
e pede que identifiquemos quais são verdadeiras. As informações dadas são:
- I. O conjunto
é um subespaço vetorial. - II. Seja
uma matriz . O conjunto de todos tais que todas as entradas de são positivas é um subespaço vetorial. - III. O conjunto- solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmação e, com isso, escolher a alternativa correta entre as opções listadas (A a H).
Passo 2
Lembrete: o que significa ser um subespaço vetorial? Vou explicar bem devagarinho.
Definição prática (critério útil): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se,
-
não é vazio (equivalente: contém o vetor zero de ); - para quaisquer
, tem-se (fechamento por soma); - para qualquer scalar
e qualquer , tem-se (fechamento por multiplicação escalar).
Explicando cada item:
- “Contém o vetor zero” é um teste rápido: se o conjunto não contiver o vetor zero, já não é subespaço.
- Se contém zero e for fechado por soma e por multiplicação escalar, então é subespaço.
Vou usar esse critério em cada afirmação.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
.
- O conjunto é o singleton que contém apenas o vetor nulo
. - Verificação das propriedades:
- Contém o vetor zero? Sim, porque é exatamente
. - Fechamento por soma? Tome quaisquer
. Então e . Logo . Fecha. - Fechamento por multiplicação escalar? Para qualquer
e , tem . Fecha.
- Contém o vetor zero? Sim, porque é exatamente
- Conclusão:
satisfaz os três requisitos e é um subespaço (chamado subespaço zero).
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: seja
uma matriz
. Considere o conjunto
Vou testar os critérios.
- Primeiro, contém o vetor zero? Calcule
. Para qualquer matriz , (o vetor zero em ), cujas entradas são todas . Mas a condição do conjunto exige que as entradas de sejam positivas (estritamente ). Como não é positivo, não satisfaz a condição. Logo . - Já com isso podemos concluir que
NÃO é subespaço, porque um subespaço tem obrigatoriamente o vetor zero.
Para reforçar a intuição: mesmo se existisse algum
com
estritamente positivo, multiplicar esse
por
produziria
, que teria todas as entradas estritamente negativas, portanto não estaria no conjunto; assim falta fechamento por escalares também.
Portanto a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
Vamos explicar o que é um sistema linear não-homogêneo e a forma geral de suas soluções.
- Um sistema linear pode ser escrito como
, onde é uma matriz (dimensões apropriadas), é o vetor incógnita e é o vetor de termos independentes. - O sistema é chamado homogêneo se
. É chamado não-homogêneo quando (ou dito de outra forma: o lado direito não é o vetor zero).
Propriedade importante (forma geral das soluções):
- Se
é uma solução particular de (ou seja, ), então a coleção de todas as soluções é
Em palavras: o conjunto solução é um deslocamento (translate) do espaço solução do homogêneo
. O conjunto das soluções do homogêneo é um subespaço (contém
e é fechado). Mas a soma de um subespaço com um vetor fixo
gera um conjunto afim (um hiperplano deslocado), que não contém o zero, em geral.
Teste direto de subespaço quando
:
- Se
e são soluções de , então , que, para , não é igual a . Assim geralmente não é solução do mesmo sistema, portanto falta fechamento por soma. Similarmente, para escalar , em geral. - Além disso, o vetor zero
não é solução quando , porque . Então o conjunto solução não contém o vetor zero.
Conclusão: o conjunto solução de um sistema linear não-homogêneo (isto é, com
) NÃO é um subespaço vetorial; é um conjunto afim (um subespaço deslocado).
Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Sumarizando os resultados já bem justificados:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
Logo somente a afirmativa I é verdadeira.
Resposta
E