Q11: Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são verdadeiras.
B) Todas são falsas.
C) Só III é verdadeira.
D) Só I e III são verdadeiras.
E) Só I é verdadeira.
F) Só II e III são verdadeiras.
G) Só I e II são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto
{(0,0,0,0)} \subset \mathbb{R}^{4}) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 6 \times 3 é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre subespaços vetoriais em espaços \mathbb{R}^n e pede que identifiquemos quais são verdadeiras. As informações dadas são:
  • I. O conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
  • II. Seja A uma matriz 6\times3. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{3} tais que todas as entradas de A\vec{v} são positivas é um subespaço vetorial.
  • III. O conjunto- solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmação e, com isso, escolher a alternativa correta entre as opções listadas (A a H).

Passo 2

Lembrete: o que significa ser um subespaço vetorial? Vou explicar bem devagarinho.
Definição prática (critério útil): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se,
  1. W não é vazio (equivalente: contém o vetor zero de V);
  2. para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in W, tem-se \vec{u}+\vec{v}\in W (fechamento por soma);
  3. para qualquer scalar c\in\mathbb{R} e qualquer \vec{v}\in W, tem-se c\vec{v}\in W (fechamento por multiplicação escalar).
Explicando cada item:
  • “Contém o vetor zero” é um teste rápido: se o conjunto não contiver o vetor zero, já não é subespaço.
  • Se contém zero e for fechado por soma e por multiplicação escalar, então é subespaço.
    Vou usar esse critério em cada afirmação.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4}.
  • O conjunto é o singleton que contém apenas o vetor nulo \vec{0}=(0,0,0,0).
  • Verificação das propriedades:
    1. Contém o vetor zero? Sim, porque é exatamente \{\vec{0}\}.
    2. Fechamento por soma? Tome quaisquer \vec{u},\vec{v}\in\{\vec{0}\}. Então \vec{u}=\vec{0} e \vec{v}=\vec{0}. Logo \vec{u}+\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\in\{\vec{0}\}. Fecha.
    3. Fechamento por multiplicação escalar? Para qualquer c\in\mathbb{R} e \vec{v}=\vec{0}, tem c\vec{v}=c\vec{0}=\vec{0}\in\{\vec{0}\}. Fecha.
  • Conclusão: \{\vec{0}\} satisfaz os três requisitos e é um subespaço (chamado subespaço zero).
Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: seja A uma matriz 6\times3. Considere o conjunto
S=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^{3}\mid\text{todas as entradas de }A\vec{v}\text{ são positivas}\}.ã
Vou testar os critérios.
  • Primeiro, contém o vetor zero? Calcule A\vec{0}. Para qualquer matriz A, A\vec{0}=\vec{0} (o vetor zero em \mathbb{R}^{6}), cujas entradas são todas 0. Mas a condição do conjunto exige que as entradas de A\vec{v} sejam positivas (estritamente >0). Como 0 não é positivo, A\vec{0} não satisfaz a condição. Logo \vec{0}\notin S.
  • Já com isso podemos concluir que S NÃO é subespaço, porque um subespaço tem obrigatoriamente o vetor zero.
Para reforçar a intuição: mesmo se existisse algum \vec{v} com A\vec{v} estritamente positivo, multiplicar esse \vec{v} por -1 produziria A(-\vec{v})=-A\vec{v}, que teria todas as entradas estritamente negativas, portanto não estaria no conjunto; assim falta fechamento por escalares também.
Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.”
Vamos explicar o que é um sistema linear não-homogêneo e a forma geral de suas soluções.
  • Um sistema linear pode ser escrito como A\vec{x}=\vec{b}, onde A é uma matriz (dimensões apropriadas), \vec{x} é o vetor incógnita e \vec{b} é o vetor de termos independentes.
  • O sistema é chamado homogêneo se \vec{b}=\vec{0}. É chamado não-homogêneo quando \vec{b}\neq\vec{0} (ou dito de outra forma: o lado direito não é o vetor zero).
Propriedade importante (forma geral das soluções):
  • Se \vec{x}_p é uma solução particular de A\vec{x}=\vec{b} (ou seja, A\vec{x}_p=\vec{b}), então a coleção de todas as soluções é
\{\vec{x}_p+\vec{z}\mid \vec{z}\text{ satisfaz }A\vec{z}=\vec{0}\}.
Em palavras: o conjunto solução é um deslocamento (translate) do espaço solução do homogêneo A\vec{z}=\vec{0}. O conjunto das soluções do homogêneo é um subespaço (contém \vec{0} e é fechado). Mas a soma de um subespaço com um vetor fixo \vec{x}_p gera um conjunto afim (um hiperplano deslocado), que não contém o zero, em geral.
Teste direto de subespaço quando \vec{b}\neq\vec{0}:
  • Se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções de A\vec{x}=\vec{b}, então A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1+A\vec{x}_2=\vec{b}+\vec{b}=2\vec{b}, que, para \vec{b}\neq\vec{0}, não é igual a \vec{b}. Assim \vec{x}_1+\vec{x}_2 geralmente não é solução do mesmo sistema, portanto falta fechamento por soma. Similarmente, para escalar c\neq 1, A(c\vec{x}_1)=cA\vec{x}_1=c\vec{b}\neq\vec{b} em geral.
  • Além disso, o vetor zero \vec{0} não é solução quando \vec{b}\neq\vec{0}, porque A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}. Então o conjunto solução não contém o vetor zero.
Conclusão: o conjunto solução de um sistema linear não-homogêneo (isto é, com \vec{b}\neq\vec{0}) NÃO é um subespaço vetorial; é um conjunto afim (um subespaço deslocado).
Portanto a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Sumarizando os resultados já bem justificados:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Logo somente a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

E

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