São impostas três igualdades (peguei-as do enunciado):
\;x_{8}=x_{12}.
\;x_{13}=x_{6}.
\;x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}.
A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto S formado por todos os vetores em \mathbb{R}^{13} que satisfazem essas três igualdades? (Ou seja, quantos graus de liberdade restam.)
Passo 2
Interpretação linear simples (aula rápida e calma): cada igualdade acima é uma equação linear homogênea entre as coordenadas x_i. O conjunto S é, portanto, o espaço de soluções de um sistema linear homogêneo em 13 variáveis. Conceito importante:
Para um sistema linear homogêneo em n variáveis, se o posto (rank) das equações for r (número de equações independentes), então o espaço solução tem dimensão
\text{dimensão} = n - r.ã
Explicação intuitiva: cada equação linear independente reduz um grau de liberdade. Então vamos determinar quantas dessas três equações são realmente independentes.
Passo 3
Verificar dependência entre as três equações: usar substituição direta.
Escrevemos a terceira equação e substituímos a primeira:
\text{terceira:}\quad x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}.
Pela primeira equação temos x_{12}=x_{8}. Substituindo no lado direito:
Mas essa última igualdade é exatamente a segunda equação dada. Conclusão: a terceira equação não adiciona informação nova — ela é consequência das duas primeiras. Portanto temos apenas duas equações linearmente independentes.
Passo 4
Aplicando a fórmula do passo 2:
Número de variáveis: n=13.
Número de equações independentes (posto): r=2.
Logo a dimensão do espaço solução é
\text{dim}(S)=n-r=13-2.
Passo 5
Fazendo a conta:
\text{dim}(S)=13-2=11.
Passo 6
Para fixar a intuição, uma parametrização simples: escolha como variáveis livres
(11 variáveis livres). As coordenadas x_{12} e x_{13} ficam determinadas por
x_{12}=x_{8},\qquad x_{13}=x_{6}.
Uma base explícita de S pode ser construída a partir dos vetores que colocam 1 em cada uma das 11 coordenadas livres e zeros nas demais, lembrando que os vetores correspondentes a x_{6} e x_{8} também levam 1 em x_{13} e x_{12}, respectivamente. Isso mostra concretamente que existem 11 vetores independentes gerando S.