Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{8}=x_{12} \\\ x_{13}=x_{6} \\\ x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 13
(B) 11
(C) 2
(D) 9
(E) 4
(F) 10
(G) 12
(H) 3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13}.
  • São impostas três igualdades (peguei-as do enunciado):
    • \;x_{8}=x_{12}.
    • \;x_{13}=x_{6}.
    • \;x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}.
  • A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto S formado por todos os vetores em \mathbb{R}^{13} que satisfazem essas três igualdades? (Ou seja, quantos graus de liberdade restam.)

Passo 2

Interpretação linear simples (aula rápida e calma): cada igualdade acima é uma equação linear homogênea entre as coordenadas x_i. O conjunto S é, portanto, o espaço de soluções de um sistema linear homogêneo em 13 variáveis. Conceito importante:
  • Para um sistema linear homogêneo em n variáveis, se o posto (rank) das equações for r (número de equações independentes), então o espaço solução tem dimensão
\text{dimensão} = n - r.ã
Explicação intuitiva: cada equação linear independente reduz um grau de liberdade. Então vamos determinar quantas dessas três equações são realmente independentes.

Passo 3

Verificar dependência entre as três equações: usar substituição direta.
Escrevemos a terceira equação e substituímos a primeira:
\text{terceira:}\quad x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}.
Pela primeira equação temos x_{12}=x_{8}. Substituindo no lado direito:
x_{8}-x_{13}=x_{8}-x_{6}.
Agora subtraímos x_{8} dos dois lados:
-x_{13}=-x_{6}\quad\Longrightarrow\quad x_{13}=x_{6}.
Mas essa última igualdade é exatamente a segunda equação dada. Conclusão: a terceira equação não adiciona informação nova — ela é consequência das duas primeiras. Portanto temos apenas duas equações linearmente independentes.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2:
  • Número de variáveis: n=13.
  • Número de equações independentes (posto): r=2.
Logo a dimensão do espaço solução é
\text{dim}(S)=n-r=13-2.

Passo 5

Fazendo a conta:
\text{dim}(S)=13-2=11.

Passo 6

Para fixar a intuição, uma parametrização simples: escolha como variáveis livres
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},x_{11}
(11 variáveis livres). As coordenadas x_{12} e x_{13} ficam determinadas por
x_{12}=x_{8},\qquad x_{13}=x_{6}.
Uma base explícita de S pode ser construída a partir dos vetores que colocam 1 em cada uma das 11 coordenadas livres e zeros nas demais, lembrando que os vetores correspondentes a x_{6} e x_{8} também levam 1 em x_{13} e x_{12}, respectivamente. Isso mostra concretamente que existem 11 vetores independentes gerando S.

Resposta

(B) 11

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