I. Todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.
II. Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LI. III. Todo subconjunto de V com menos do que 5 vetores é LI.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • O enunciado apresenta três afirmações sobre um espaço vetorial V (presumidamente de dimensão 5; isso está implícito porque todas as afirmações citam o número 5):
    I. Todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.
    II. Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é linearmente independente (LI).
    III. Todo subconjunto de V com menos do que 5 vetores é LI.
  • A tarefa é determinar quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Vamos relembrar os conceitos e teoremas que vamos usar (explicação bem calma, como se eu estivesse ajudando um amigo desesperado antes da prova).
Definições importantes:
  • Uma família de vetores gera V (é um conjunto gerador, ou “spanning set”) quando toda combinação linear desses vetores pode produzir qualquer vetor de V.
  • Uma família de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
  • Uma base de V é um conjunto de vetores que gera V e é LI ao mesmo tempo.
  • A dimensão de V, escrita \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Aqui estamos considerando \dim V = 5.
Teoremas essenciais (em palavras simples):
  1. Se \dim V = n, então qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos n vetores. (Não dá pra gerar V com menos de n vetores.)
  2. Se \dim V = n, então qualquer conjunto LI de vetores em V tem no máximo n vetores. (Não dá pra ter mais do que n vetores LI.)
  3. Se \dim V = n, então um conjunto de exatamente n vetores que gera V é automaticamente uma base (ou seja, é LI).
  4. Se \dim V = n, então um conjunto de exatamente n vetores que é LI é automaticamente uma base (ou seja, gera V).
Intuição curta do porquê do item 3: existe o teorema de substituição (Steinitz) que, grosso modo, diz que qualquer conjunto gerador tem tamanho ≥ tamanho de uma base; se o gerador tem exatamente o mesmo tamanho da base ( n), não há “folga” para dependência e o conjunto deve ser LI — logo é base. Outra forma: se um gerador de n vetores fosse dependente, seria possível retirar vetores mantendo a geração, obtendo um gerador com menos de n vetores, contradizendo que uma base tem exatamente n vetores.

Passo 3

Analisando a afirmação I: “Todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.”
  • Como já falei, para um espaço de dimensão 5 vale o teorema: todo conjunto gerador com exatamente \dim V vetores é uma base. Ou seja, se \dim V = 5 e um conjunto S gera V e |S|=5, então S é LI e gera V, logo é base.
  • Portanto a afirmação I é verdadeira.
(Mais didático: uma forma direta por contradição — suponha S gera V com 5 vetores mas é dependente; então existe um vetor de S que é combinação linear dos outros, logo ao retirar esse vetor os outros ainda geram V, obtendo um gerador com 4 vetores, o que contradiz o fato de que qualquer gerador deve ter ao menos 5 vetores. Logo S não pode ser dependente.)

Passo 4

Analisando a afirmação II: “Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LI.”
  • Uma base é, por definição, um conjunto gerador que é LI. Como \dim V = 5 existe (por definição de dimensão) uma base com exatamente 5 vetores.
  • Essa base é um exemplo concreto de um conjunto gerador com 5 vetores que é LI.
  • Logo a afirmação II é verdadeira.
(Comentário amigo: se você tem uma base, pronto — ela satisfaz II. Não precisa construir nada exótico.)

Passo 5

Analisando a afirmação III: “Todo subconjunto de V com menos do que 5 vetores é LI.”
  • Essa afirmação diz que qualquer conjunto com 1,2,3 ou 4 vetores é necessariamente LI. Isso é falso: conjuntos com menos de 5 vetores podem ser dependentes.
  • Contraponto simples / contraexemplo: escolha um vetor não nulo v\in V (existe porque \dim V = 5 > 0). Considere o subconjunto \{v,2v\}. Esse subconjunto tem 2 vetores (menos que 5) e é linearmente dependente, porque 2v - 2\cdot v = 0 (ou simplesmente, 2v é múltiplo de v). Portanto nem todo subconjunto com menos de 5 vetores é LI.
  • Também poderia usar o vetor zero: qualquer conjunto contendo o vetor zero é dependente.
  • Logo a afirmação III é falsa.

Passo 6

Resumo e resposta lógica:
  • I é verdadeira (teorema: gerador com exatamente \dim V vetores é base).
  • II é verdadeira (uma base de V é um exemplo).
  • III é falsa (contraexemplo simples dado).
Portanto as únicas verdadeiras são I e II.

Resposta

(D)

Exercícios relacionados