I. Todo conjunto gerador de
com 5 vetores é uma base de
.
II. Existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que é LI. III. Todo subconjunto de
com menos do que 5 vetores é LI.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e III são verdadeiras.
II. Existe um conjunto gerador de
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
- O enunciado apresenta três afirmações sobre um espaço vetorial
(presumidamente de dimensão ; isso está implícito porque todas as afirmações citam o número ):
I. Todo conjunto gerador decom vetores é uma base de .
II. Existe um conjunto gerador decom vetores que é linearmente independente (LI).
III. Todo subconjunto decom menos do que vetores é LI. - A tarefa é determinar quais dessas afirmações são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Vamos relembrar os conceitos e teoremas que vamos usar (explicação bem calma, como se eu estivesse ajudando um amigo desesperado antes da prova).
Definições importantes:
- Uma família de vetores gera
(é um conjunto gerador, ou “spanning set”) quando toda combinação linear desses vetores pode produzir qualquer vetor de . - Uma família de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação com todos os coeficientes iguais a zero.
- Uma base de
é um conjunto de vetores que gera e é LI ao mesmo tempo. - A dimensão de
, escrita , é o número de vetores em qualquer base de . Aqui estamos considerando .
Teoremas essenciais (em palavras simples):
- Se
, então qualquer conjunto gerador de tem pelo menos vetores. (Não dá pra gerar com menos de vetores.) - Se
, então qualquer conjunto LI de vetores em tem no máximo vetores. (Não dá pra ter mais do que vetores LI.) - Se
, então um conjunto de exatamente vetores que gera é automaticamente uma base (ou seja, é LI). - Se
, então um conjunto de exatamente vetores que é LI é automaticamente uma base (ou seja, gera ).
Intuição curta do porquê do item 3: existe o teorema de substituição (Steinitz) que, grosso modo, diz que qualquer conjunto gerador tem tamanho ≥ tamanho de uma base; se o gerador tem exatamente o mesmo tamanho da base (
), não há “folga” para dependência e o conjunto deve ser LI — logo é base. Outra forma: se um gerador de
vetores fosse dependente, seria possível retirar vetores mantendo a geração, obtendo um gerador com menos de
vetores, contradizendo que uma base tem exatamente
vetores.
Passo 3
Analisando a afirmação I: “Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.”
- Como já falei, para um espaço de dimensão
vale o teorema: todo conjunto gerador com exatamente vetores é uma base. Ou seja, se e um conjunto gera e , então é LI e gera , logo é base. - Portanto a afirmação I é verdadeira.
(Mais didático: uma forma direta por contradição — suponha
gera
com 5 vetores mas é dependente; então existe um vetor de
que é combinação linear dos outros, logo ao retirar esse vetor os outros ainda geram
, obtendo um gerador com 4 vetores, o que contradiz o fato de que qualquer gerador deve ter ao menos 5 vetores. Logo
não pode ser dependente.)
Passo 4
Analisando a afirmação II: “Existe um conjunto gerador de
com
vetores que é LI.”
- Uma base é, por definição, um conjunto gerador que é LI. Como
existe (por definição de dimensão) uma base com exatamente vetores. - Essa base é um exemplo concreto de um conjunto gerador com
vetores que é LI. - Logo a afirmação II é verdadeira.
(Comentário amigo: se você tem uma base, pronto — ela satisfaz II. Não precisa construir nada exótico.)
Passo 5
Analisando a afirmação III: “Todo subconjunto de
com menos do que
vetores é LI.”
- Essa afirmação diz que qualquer conjunto com
ou vetores é necessariamente LI. Isso é falso: conjuntos com menos de vetores podem ser dependentes. - Contraponto simples / contraexemplo: escolha um vetor não nulo
(existe porque ). Considere o subconjunto . Esse subconjunto tem vetores (menos que 5) e é linearmente dependente, porque (ou simplesmente, é múltiplo de ). Portanto nem todo subconjunto com menos de 5 vetores é LI. - Também poderia usar o vetor zero: qualquer conjunto contendo o vetor zero é dependente.
- Logo a afirmação III é falsa.
Passo 6
Resumo e resposta lógica:
- I é verdadeira (teorema: gerador com exatamente
vetores é base). - II é verdadeira (uma base de
é um exemplo). - III é falsa (contraexemplo simples dado).
Portanto as únicas verdadeiras são I e II.
Resposta
(D)