Em cada p-série dada, identifique p e determine se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1},
que é uma p-série, isto é, uma série da forma
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-p}.
O critério de convergência para p-séries afirma que ela converge se, e somente se, p>1. Vamos identificar p e aplicar esse critério.

Passo 2

Na série \sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}, o expoente de k é -1. Logo, comparando com \sum_{k=1}^{\infty} k^{-p}, temos
p = 1.

Passo 3

Como a condição de convergência exige p>1, mas aqui p=1\le1, a série não satisfaz o critério de convergência. Trata-se da famosa série harmônica, que é divergente.

Resposta

A série é uma p-série com p=1 e, como p\le1, diverge.

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