Em cada p-série dada, identifique p e determine se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} k^{-2 / 3}.

Passo 1

O enunciado apresenta a série \sum_{k=1}^{\infty}k^{-2/3},
que é uma p-série do tipo \sum_{k=1}^{\infty}k^{-p}. Vamos usar o teste de p-séries, que diz que essa série converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Na forma padrão \sum k^{-p} temos aqui p = \tfrac{2}{3}. Como \tfrac{2}{3}<1,
pelo teste de p-séries a série diverge.

Resposta

p = \tfrac{2}{3}, e a série diverge.

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