Confirme ser aplicável o Teste da Integral e use-o para determinar se a série converge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar as condições do Teste da Integral na série
e, em seguida, usar esse teste para concluir se a série converge. Vamos precisar de uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com o termo geral para
, e então avaliar a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos a função
para
.
- f é contínua e positiva em
porque . - Para ver que f é decrescente, calculamos a derivada:
Logo,
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, logo
e quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Como
segue
Passo 4
Como a integral imprópria converge (é finita), pelo Teste da Integral a série
também converge.
Resposta
A série converge pelo Teste da Integral.