Confirme ser aplicável o Teste da Integral e use-o para determinar se a série converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4+2 n)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar as condições do Teste da Integral na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4+2n)^{3/2}}
e, em seguida, usar esse teste para concluir se a série converge. Vamos precisar de uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com o termo geral para n\ge1, e então avaliar a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{(4+2x)^{3/2}},
para x\ge1.
  1. f é contínua e positiva em [1,\infty) porque 4+2x>0.
  2. Para ver que f é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) = -\frac{3}{2}\,\frac{2}{(4+2x)^{5/2}} = -\frac{3}{(4+2x)^{5/2}} < 0.
Logo, f satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(4+2x)^{3/2}}\,dx.
Fazemos a substituição u = 4+2x, logo du = 2\,dx e quando x=1 temos u=6, e quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{(4+2x)^{3/2}} = \int_{6}^{\infty} \frac{1}{u^{3/2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{6}^{\infty} u^{-3/2}\,du.
Como
\int u^{-3/2}\,du = -2\,u^{-1/2},
segue
\frac{1}{2}\Bigl[-2\,u^{-1/2}\Bigr]_{6}^{\infty} = \frac{1}{2}\bigl(0 - (-2\cdot6^{-1/2})\bigr) = \frac{1}{\sqrt{6}} < \infty.

Passo 4

Como a integral imprópria converge (é finita), pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(4+2n)^{3/2}}
também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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