Em cada p-série dada, identifique p e determine se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}
e nos pede para identificarmos o valor de p quando a comparamos com uma p-série e decidirmos se ela converge.

Passo 2

Uma p-série tem a forma
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{p}}.
No nosso caso, temos
\frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{k^{1/2}},
logo p = \tfrac12. Pelo critério de convergência da p-série, ela converge se, e somente se, p>1.

Passo 3

Como aqui p = \tfrac12 < 1, a série não satisfaz a condição de convergência para p-séries. Portanto, ela diverge.

Resposta

Para \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k}}, temos p = \tfrac12 e a série diverge.

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