O que se pede: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t), ou seja a família de todas as soluções do sistema, escrita em função de constantes arbitrárias (as condições iniciais aparecem como multiplicadores nessa solução).
Informação relevante dada: a matriz A (todos os seus elementos estão acima). Não há outras condições iniciais; espera-se a solução geral com três constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vou calcular os autovalores de A. Para isso formo o polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevo a matriz (A-\lambda I):
Da terceira equação vem y=2z\]. Substituindo na primeira: \(2x+2z+z=2x+3z=0, logo x=-\dfrac{3}{2}z. Escolho z=2 para evitar frações; isso dá x=-3, y=4, z=2. Um autovetor associado a \lambda=-1 é
Observação importante (motivação do próximo passo): como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2) para \lambda=2, a matriz não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado (cadeia de Jordan) para formar a solução geral.]
Passo 6
Procuro um vetor generalizado \mathbf{u}\) tal que
\[(A-2I)\mathbf{u}=\mathbf{v}_2.
Escrevo \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)^T e resolvo o sistema linear
Da terceira equação obtemos u_2+u_3=-1\]. Substituindo na primeira: \(-u_1 + (u_2+u_3)= -u_1 -1 =0, então u_1=-1. A segunda equação fica automática (verificação): 2(-1) - (u_2+u_3) = -2 -(-1) = -1, que é o lado direito. Podemos escolher um valor conveniente para u_3 e determinar u_2. Tomando u_3=0 dá u_2=-1. Assim um vetor generalizado é
Agora monto as soluções fundamentais do sistema. Relembrando a teoria (explicada de forma prática): para um autovalor simples \lambda com autovetor \mathbf{v} a solução é
\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}.
Para um autovalor repetido \lambda com um autovetor \mathbf{v} e um vetor generalizado \mathbf{u} com (A-\lambda I)\mathbf{u}=\mathbf{v}, existem duas soluções linearmente independentes associadas a esse bloco de Jordan:
Essas três soluções \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3 são linearmente independentes e formam uma base de soluções do sistema de dimensão 3.]
Passo 8
A solução geral \mathbf{x}(t) é uma combinação linear dessas três soluções fundamentais com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3. Posso escrever a solução de forma compacta: