Exercício 28. Calcule os seguintes limites usando L’Hôspital quando possível. Se a regra de L’Hôspital não for aplicável explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e comportamento das partes quando
:
- A parte
tende a . - A parte
tende a porque . - Portanto a expressão tem a forma “
” (indeterminada) já que e .
Passo 2
Conversão para uma forma de quociente apropriada para aplicar a regra de L’Hôpital (quando for possível): escrever o produto como uma fração, usando
. Assim
Agora avalio os limites das partes desta fração quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo o limite ficou na forma, que é uma das formas onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (sob hipóteses técnicas que neste caso são satisfeitas para grande).
Passo 3
Lembrete (didático) sobre a regra de L’Hôpital: se temos
e ao avaliar diretamente obtemos
ou
, e se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
perto de
, então
quando o limite à direita existir (ou for
). Aqui
e
são diferenciáveis para
grande, então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas (explicando passo a passo a diferenciação): usar a regra da cadeia para o numerador.
- Derivada do numerador
:
a função exterior ée a interior é .
A derivada deé e a derivada de é .
Assim - Derivada do denominador
é
Passo 5
Aplicando L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Os fatores
cancelam. Agora avaliar o último limite: como
quando
, temos
Passo 6
Verificação alternativa (intuição útil na prova): fazendo a mudança de variável
, quando
tem-se
e a expressão vira
cujo limite quando
é
(por definição da derivada de
em
ou pela expansão em série
). Isso confirma o resultado acima.