Exercício 28. Calcule os seguintes limites usando L’Hôspital quando possível. Se a regra de L’Hôspital não for aplicável explique por quê.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right).
Informações dadas e comportamento das partes quando x\to\infty:
  • A parte x tende a +\infty.
  • A parte e^{\frac{1}{x}} tende a e^{0}=1 porque \frac{1}{x}\to0.
  • Portanto a expressão tem a forma “ \infty\cdot 0” (indeterminada) já que x\to\infty e e^{1/x}-1\to0.

Passo 2

Conversão para uma forma de quociente apropriada para aplicar a regra de L’Hôpital (quando for possível): escrever o produto como uma fração, usando x=\dfrac{1}{1/x}. Assim
x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{1/x}.
Agora avalio os limites das partes desta fração quando x\to\infty:
  • Numerador: e^{\frac{1}{x}}-1 \to 0.
  • Denominador: 1/x \to 0.
    Logo o limite ficou na forma 0/0, que é uma das formas onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (sob hipóteses técnicas que neste caso são satisfeitas para x grande).

Passo 3

Lembrete (didático) sobre a regra de L’Hôpital: se temos \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} e ao avaliar diretamente obtemos 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Aqui f(x)=e^{1/x}-1 e g(x)=1/x são diferenciáveis para x grande, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas (explicando passo a passo a diferenciação): usar a regra da cadeia para o numerador.
  • Derivada do numerador f(x)=e^{\frac{1}{x}}-1:
    a função exterior é e^{u} e a interior é u=\frac{1}{x}.
    A derivada de e^{u} é e^{u} e a derivada de u=\frac{1}{x} é \dfrac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
    Assim f'(x)=e^{\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{x^{2}}\,e^{\frac{1}{x}}.
  • Derivada do denominador g(x)=\frac{1}{x} é g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{1/x} =\lim_{x\to\infty}\frac{-\frac{1}{x^{2}}\,e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^{2}}} =\lim_{x\to\infty}e^{\frac{1}{x}}.
Os fatores -\dfrac{1}{x^{2}} cancelam. Agora avaliar o último limite: como \dfrac{1}{x}\to0 quando x\to\infty, temos
\lim_{x\to\infty}e^{\frac{1}{x}}=e^{0}=1.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição útil na prova): fazendo a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}, quando x\to\infty tem-se t\to0^+ e a expressão vira
\frac{e^{t}-1}{t},
cujo limite quando t\to0 é 1 (por definição da derivada de e^{t} em 0 ou pela expansão em série e^{t}=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}+\cdots). Isso confirma o resultado acima.

Resposta

1

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