Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=\sqrt{x+2}, g(x)=x-1

Passo 1

O enunciado pede que, dadas as funções f(x)=\sqrt{x+2} e g(x)=x-1, calculemos as quatro composições:
  • i. (f\circ g)(x)=f(g(x))
  • ii. (g\circ f)(x)=g(f(x))
  • iii. (f\circ f)(x)=f(f(x))
  • iv. (g\circ g)(x)=g(g(x))
Informações dadas:
  • f(x)=\sqrt{x+2}. Observação útil: a raiz quadrada exige que seu argumento seja maior ou igual a zero.
  • g(x)=x-1. Função polinomial (domínio todo \mathbb{R}).

Passo 2

O que significa “compor” funções (a ideia passo a passo):
  • (f\circ g)(x)=f(g(x)) significa pegar a expressão de g(x) e substituí-la no lugar de x na expressão de f(x).
  • Em geral, para h(x)=f(g(x)), primeiro calcula-se u=g(x) e depois f(u).
  • Sempre lembrar do domínio: a composição só faz sentido quando o valor g(x) está no domínio de f.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)):
  • Primeiro escrevo g(x)=x-1.
  • Substituo g(x) em f: f(g(x))=\sqrt{\,g(x)+2\,}=\sqrt{(x-1)+2}.
  • Simplifico o interior da raiz: (x-1)+2 = x+1.
    Logo
(f\circ g)(x)=\sqrt{x+1}.
Domínio: como a raiz exige x+1\ge0, segue que o domínio de (f\circ g) é x\ge-1.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)):
  • Primeiro escrevo f(x)=\sqrt{x+2}.
  • Substituo f(x) em g: g(f(x))=f(x)-1=\sqrt{x+2}-1.
    Não há simplificação algébrica adicional.
    Domínio: é necessário que f(x) exista, isto é, x+2\ge0. Portanto domínio é x\ge-2.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)):
  • Substituo f(x) na própria f: f(f(x))=\sqrt{\,f(x)+2\,}=\sqrt{\sqrt{x+2}+2}.
    Portanto
(f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt{x+2}+2}.
Domínio: primeiro x deve satisfazer x+2\ge0 (para a raiz interna), ou seja x\ge-2. A expressão interna da raiz externa é \sqrt{x+2}+2, que é sempre \ge2>0 quando x\ge-2. Então o domínio final é x\ge-2.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)):
  • Substituo g(x)=x-1 em g: g(g(x))=(x-1)-1.
  • Simplifico: (x-1)-1=x-2.
    Logo
(g\circ g)(x)=x-2.
Domínio: g é polinomial, domínio todo \mathbb{R}.

Passo 7

Pequena verificação numérica (opcional, só para conferir): escolha x=0.
  • (f\circ g)(0)=\sqrt{0+1}=1.
  • (g\circ f)(0)=\sqrt{0+2}-1=\sqrt{2}-1.
  • (f\circ f)(0)=\sqrt{\sqrt{2}+2}.
  • (g\circ g)(0)=0-2=-2.
    Tudo coerente com as fórmulas obtidas.

Resposta

i. (f\circ g)(x)=\sqrt{x+1}
ii. (g\circ f)(x)=\sqrt{x+2}-1
iii. (f\circ f)(x)=\sqrt{\sqrt{x+2}+2}
iv. (g\circ g)(x)=x-2

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