Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=2 x+1, g(x)=x^{2}-3

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede quatro composições entre elas. Dados fornecidos:
  • f(x)=2x+1.
  • g(x)=x^{2}-3.
Perguntas que o exercício faz:
i. Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
ii. Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
iii. Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
iv. Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).

Passo 2

O que significa compor funções (pequena aula):
  • Se f e g são funções, então (f\circ g)(x) significa “aplicar g em x e depois aplicar f ao resultado”. Em símbolos: (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Para calcular f(g(x)) substitui-se toda ocorrência de x em f pela expressão g(x). O mesmo vale para g(f(x)) e para compor uma função consigo mesma.
  • Exemplo simples: se h(x)=3x e k(x)=x+2, então h(k(x))=3\cdot(k(x))=3(x+2)=3x+6. Aqui apenas substituímos k(x) no lugar de x em h.
Agora vamos aplicar essa ideia passo a passo às funções dadas.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Começo substituindo g(x) no lugar de x em f. Como f(x)=2x+1, então
f(g(x))=2\bigl(g(x)\bigr)+1.
  • Como g(x)=x^{2}-3, substituo:
f(g(x))=2\bigl(x^{2}-3\bigr)+1.
  • Distribuo o 2 (regra distributiva: 2(a+b)=2a+2b):
f(g(x))=2x^{2}-6+1.
  • Faço a soma dos termos constantes:
f(g(x))=2x^{2}-5.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Substituo f(x) no lugar de x em g. Como g(x)=x^{2}-3, então
g(f(x))=\bigl(f(x)\bigr)^{2}-3.
  • Como f(x)=2x+1, temos
g(f(x))=(2x+1)^{2}-3.
  • Uso a fórmula do quadrado de um binômio: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=2x e b=1. Então
(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot 1+1^{2}=4x^{2}+4x+1.
  • Substituo na expressão de g(f(x)):
g(f(x))=4x^{2}+4x+1-3.
  • Simplifico os termos constantes:
g(f(x))=4x^{2}+4x-2.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substituo f(x) no lugar de x em f. Como f(x)=2x+1,
f(f(x))=2\bigl(f(x)\bigr)+1.
  • Substituindo f(x)=2x+1:
f(f(x))=2\bigl(2x+1\bigr)+1.
  • Distribuo o 2:
f(f(x))=4x+2+1.
  • Somo constantes:
f(f(x))=4x+3.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Substituo g(x) no lugar de x em g. Como g(x)=x^{2}-3,
g(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^{2}-3=\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}-3.
  • Uso a fórmula do quadrado de um binômio (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} com a=x^{2} e b=3:
\bigl(x^{2}-3\bigr)^{2}=(x^{2})^{2}-2\cdot x^{2}\cdot 3+3^{2}=x^{4}-6x^{2}+9.
  • Substituo na expressão de g(g(x)):
g(g(x))=x^{4}-6x^{2}+9-3.
  • Simplifico os termos constantes:
g(g(x))=x^{4}-6x^{2}+6.

Passo 7

Resumo rápido do que foi feito (motivação): para cada composição foi sempre o mesmo procedimento: substituir a expressão da função interna no lugar de x da função externa e em seguida simplificar usando regras básicas de álgebra (distributiva e fórmula do quadrado de binômio). Dá para fazer isso à mão facilmente numa prova, sem calculadora.

Resposta

(f\circ g)(x)=2x^{2}-5
(g\circ f)(x)=4x^{2}+4x-2
(f\circ f)(x)=4x+3
(g\circ g)(x)=x^{4}-6x^{2}+6

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