Para cada par de funções
e
, determine as seguintes composições:
i.
ii.
iii.
iv.
Sendo:
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede quatro composições entre elas. Dados fornecidos:
-
. -
.
Perguntas que o exercício faz:
i. Calcular .
ii. Calcular .
iii. Calcular .
iv. Calcular .
i. Calcular
ii. Calcular
iii. Calcular
iv. Calcular
Passo 2
O que significa compor funções (pequena aula):
- Se
e são funções, então significa “aplicar em e depois aplicar ao resultado”. Em símbolos: . - Para calcular
substitui-se toda ocorrência de em pela expressão . O mesmo vale para e para compor uma função consigo mesma. - Exemplo simples: se
e , então . Aqui apenas substituímos no lugar de em .
Agora vamos aplicar essa ideia passo a passo às funções dadas.
Passo 3
Calcular
.
- Começo substituindo
no lugar de em . Como , então
- Como
, substituo:
- Distribuo o
(regra distributiva: ):
- Faço a soma dos termos constantes:
Passo 4
Calcular
.
- Substituo
no lugar de em . Como , então
- Como
, temos
- Uso a fórmula do quadrado de um binômio:
. Aqui e . Então
- Substituo na expressão de
:
- Simplifico os termos constantes:
Passo 5
Calcular
.
- Substituo
no lugar de em . Como ,
- Substituindo
:
- Distribuo o
:
- Somo constantes:
Passo 6
Calcular
.
- Substituo
no lugar de em . Como ,
- Uso a fórmula do quadrado de um binômio
com e :
- Substituo na expressão de
:
- Simplifico os termos constantes:
Passo 7
Resumo rápido do que foi feito (motivação): para cada composição foi sempre o mesmo procedimento: substituir a expressão da função interna no lugar de
da função externa e em seguida simplificar usando regras básicas de álgebra (distributiva e fórmula do quadrado de binômio). Dá para fazer isso à mão facilmente numa prova, sem calculadora.