Para cada par de funções
e
, determine as seguintes composições:
i.
ii.
iii.
iv.
Sendo:
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular as quatro composições:
-
Informações dadas:
-
. -
.
Observações iniciais úteis (dados do enunciado):
- Para formar
substituir em por . - Para formar
substituir em por . - Prestar atenção às restrições de domínio: onde cada expressão fica indefinida (divisão por zero).
Passo 2
Cálculo de
.
- Substituir
em :
- Colocar a expressão de
:
- Unificar em denominação comum
:
- Simplificar o numerador:
Portanto,
Restrição de domínio:
exige que
esteja definido, então
.
Passo 3
Cálculo de
.
- Substituir
em :
- Usar
:
- Verificar se o denominador pode ser zero (domínio): resolver
.
Calcule o discriminante:
Como
, não há raízes reais; então
para todo
. Logo a expressão está definida para todo
real.
Portanto,
com domínio todos os reais.
Passo 4
Cálculo de
.
- Substituir
em :
- Colocar
:
- Expandir o quadrado passo a passo:
- Subtrair
:
Portanto,
Domínio: polinômio definido para todo
.
Passo 5
Cálculo de
.
- Substituir
em :
- Colocar
:
- Somar no denominador com denominador comum
:
- Inverter a fração:
Portanto,
Restrição de domínio: é preciso que
esteja definido (
) e que
. A condição
é equivalente a
. Assim o domínio de
é
com
.
Passo 6
Resumo rápido de como fazer composições na hora da prova (dica amiga):
- Substitua a função interior no lugar do
da função exterior. - Faça álgebra com calma: junte frações com denominador comum, expanda quadrados passo a passo.
- Sempre verifique domínio: pontos onde aparece divisão por zero devem ser excluídos.
- Se ficar travado, escreva a substituição literal primeiro e só então simplifique.
Você está indo bem — composições são só substituição e simplificação. Vamos conferir as respostas finais!