Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=x^{2}-x, g(x)=\frac{1}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as quatro composições:
    1. (f\circ g)(x)=f(g(x))
    2. (g\circ f)(x)=g(f(x))
    3. (f\circ f)(x)=f(f(x))
    4. (g\circ g)(x)=g(g(x))
Informações dadas:
  • f(x)=x^{2}-x.
  • g(x)=\dfrac{1}{x+1}.
Observações iniciais úteis (dados do enunciado):
  • Para formar (f\circ g)(x) substituir x em f por g(x).
  • Para formar (g\circ f)(x) substituir x em g por f(x).
  • Prestar atenção às restrições de domínio: onde cada expressão fica indefinida (divisão por zero).

Passo 2

Cálculo de (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  1. Substituir g(x) em f:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\big(g(x)\big)^{2}-g(x).
  1. Colocar a expressão de g(x):
\big(g(x)\big)^{2}-g(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}-\frac{1}{x+1}.
  1. Unificar em denominação comum (x+1)^{2}:
\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{x+1}{(x+1)^{2}}=\frac{1-(x+1)}{(x+1)^{2}}.
  1. Simplificar o numerador:
\frac{1-(x+1)}{(x+1)^{2}}=\frac{1-x-1}{(x+1)^{2}}=\frac{-x}{(x+1)^{2}}.
Portanto,
(f\circ g)(x)=-\frac{x}{(x+1)^{2}}.
Restrição de domínio: (f\circ g)(x) exige que g(x) esteja definido, então x\neq -1.

Passo 3

Cálculo de (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  1. Substituir f(x) em g:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\frac{1}{f(x)+1}.
  1. Usar f(x)=x^{2}-x:
\frac{1}{f(x)+1}=\frac{1}{x^{2}-x+1}.
  1. Verificar se o denominador pode ser zero (domínio): resolver x^{2}-x+1=0.
    Calcule o discriminante \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.
Como \Delta<0, não há raízes reais; então x^{2}-x+1\neq0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo a expressão está definida para todo x real.
Portanto,
(g\circ f)(x)=\frac{1}{x^{2}-x+1},
com domínio todos os reais.

Passo 4

Cálculo de (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  1. Substituir f(x) em f:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=\big(f(x)\big)^{2}-f(x).
  1. Colocar f(x)=x^{2}-x:
\big(x^{2}-x\big)^{2}-(x^{2}-x).
  1. Expandir o quadrado passo a passo:
\big(x^{2}-x\big)^{2}=x^{4}-2x^{3}+x^{2}.
  1. Subtrair x^{2}-x:
x^{4}-2x^{3}+x^{2}-(x^{2}-x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x^{2}+x = x^{4}-2x^{3}+x.
Portanto,
(f\circ f)(x)=x^{4}-2x^{3}+x.
Domínio: polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo de (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  1. Substituir g(x) em g:
(g\circ g)(x)=g\big(g(x)\big)=\frac{1}{g(x)+1}.
  1. Colocar g(x)=\dfrac{1}{x+1}:
\frac{1}{\dfrac{1}{x+1}+1}.
  1. Somar no denominador com denominador comum (x+1):
\frac{1}{\dfrac{1+(x+1)}{x+1}}=\frac{1}{\dfrac{x+2}{x+1}}.
  1. Inverter a fração:
\frac{1}{\dfrac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2}.
Portanto,
(g\circ g)(x)=\frac{x+1}{x+2}.
Restrição de domínio: é preciso que g(x) esteja definido ( x\neq -1) e que g(x)+1\neq0. A condição g(x)+1\neq0 é equivalente a x\neq -2. Assim o domínio de (g\circ g)(x) é x\in\mathbb{R} com x\neq -1,-2.

Passo 6

Resumo rápido de como fazer composições na hora da prova (dica amiga):
  • Substitua a função interior no lugar do x da função exterior.
  • Faça álgebra com calma: junte frações com denominador comum, expanda quadrados passo a passo.
  • Sempre verifique domínio: pontos onde aparece divisão por zero devem ser excluídos.
  • Se ficar travado, escreva a substituição literal primeiro e só então simplifique.
Você está indo bem — composições são só substituição e simplificação. Vamos conferir as respostas finais!

Resposta

(f\circ g)(x)=-\dfrac{x}{(x+1)^{2}}
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-x+1}
(f\circ f)(x)=x^{4}-2x^{3}+x
(g\circ g)(x)=\dfrac{x+1}{x+2}

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