Sejam f(x)=x^{2}-x+1 e g(x)=\sqrt{x+2}. Determine (f \circ g)(x) e analise seu domínio.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas funções
f(x)=x^{2}-x+1
e
g(x)=\sqrt{x+2}.
As perguntas são:
  • Determinar (f\circ g)(x), ou seja, f(g(x)).
  • Analisar o domínio de (f\circ g).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f é um polinômio (definido para todos os reais).
  • A expressão de g envolve raiz quadrada de x+2, o que impõe restrição no domínio de g.

Passo 2

O que significa compor funções?
Se temos duas funções f e g, a composição (f\circ g) é a função que primeiro aplica g e depois aplica f ao resultado. Em símbolos:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Na prática, para construir f(g(x)) substitui-se toda ocorrência de x em f(x) por g(x). Essa é a regra básica: "pega g(x) e coloca no lugar de x em f".

Passo 3

Vou aplicar a regra: substituir x em f(x)=x^{2}-x+1 por g(x)=\sqrt{x+2}. Então
(f\circ g)(x)=\bigl(\sqrt{x+2}\,\bigr)^{2}-\sqrt{x+2}+1.
Aqui cada ocorrência de x em f virou \sqrt{x+2}.

Passo 4

Agora simplifico a expressão. Lembrando que, para x no domínio de g, \sqrt{x+2} é um número não negativo, e \bigl(\sqrt{x+2}\,\bigr)^{2}=x+2. Assim:
(f\circ g)(x)=x+2-\sqrt{x+2}+1.
Somando os termos constantes 2 e 1,
(f\circ g)(x)=x+3-\sqrt{x+2}.

Passo 5

Vamos analisar o domínio. Regra geral: o domínio de (f\circ g) é o conjunto dos x que pertencem ao domínio de g e tais que g(x) pertença ao domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.

Passo 6

Identificar domínios individuais:
  • f é um polinômio dado por f(x)=x^{2}-x+1. Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • g(x)=\sqrt{x+2}. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo:
x+2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -2.
Portanto
\operatorname{Dom}(g)=[-2,\infty).

Passo 7

Como \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}, todo valor g(x) (desde que exista) está automaticamente em \operatorname{Dom}(f). Assim a única restrição para f(g(x)) vem de g. Portanto
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\operatorname{Dom}(g)=[-2,\infty).
Observação final: mesmo que a expressão simplificada x+3-\sqrt{x+2} pareça definir-se para x qualquer se ignorarmos a raiz, não podemos esquecer que a presença de \sqrt{x+2} obriga x\ge -2. Logo não há extensão de domínio além de [-2,\infty).

Passo 8

Checagem com exemplos rápidos (opcional, para ganhar confiança):
  • Em x=-2: (f\circ g)(-2)=(-2)+3-\sqrt{-2+2}=1-0=1.
  • Em x=0: (f\circ g)(0)=0+3-\sqrt{2}=3-\sqrt{2}.
    Esses valores existem e obedecem à regra do domínio x\ge-2.

Resposta

(f\circ g)(x)=x+3-\sqrt{x+2}
\operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,\infty)

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