Sejam
e
. Determine
e analise seu domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá as duas funções
e
As perguntas são:
- Determinar
, ou seja, . - Analisar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é um polinômio (definido para todos os reais). - A expressão de
envolve raiz quadrada de , o que impõe restrição no domínio de .
Passo 2
O que significa compor funções?
Se temos duas funções e
, a composição
é a função que primeiro aplica
e depois aplica
ao resultado. Em símbolos:
Se temos duas funções
Na prática, para construir
substitui-se toda ocorrência de
em
por
. Essa é a regra básica: "pega
e coloca no lugar de
em
".
Passo 3
Vou aplicar a regra: substituir
em
por
. Então
Aqui cada ocorrência de
em
virou
.
Passo 4
Agora simplifico a expressão. Lembrando que, para
no domínio de
,
é um número não negativo, e
. Assim:
Somando os termos constantes
e
,
Passo 5
Vamos analisar o domínio. Regra geral: o domínio de
é o conjunto dos
que pertencem ao domínio de
e tais que
pertença ao domínio de
. Em símbolos:
Passo 6
Identificar domínios individuais:
-
é um polinômio dado por . Polinômios estão definidos para todo . Logo
-
. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo:
Portanto
Passo 7
Como
, todo valor
(desde que exista) está automaticamente em
. Assim a única restrição para
vem de
. Portanto
Observação final: mesmo que a expressão simplificada
pareça definir-se para
qualquer se ignorarmos a raiz, não podemos esquecer que a presença de
obriga
. Logo não há extensão de domínio além de
.
Passo 8
Checagem com exemplos rápidos (opcional, para ganhar confiança):
- Em
: . - Em
: .
Esses valores existem e obedecem à regra do domínio.