Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo: f(x)=|x|+2, g(x)=x^{3}-x
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular as quatro composições entre f e g:
(f\circ g)(x)=f(g(x))
(g\circ f)(x)=g(f(x))
(f\circ f)(x)=f(f(x))
(g\circ g)(x)=g(g(x))
Informações fornecidas:
f(x)=|x|+2.
g(x)=x^{3}-x.
Passo 2
Conceito e regra prática (passo a passo curto e amigável):
Composição f\circ g significa "pegar g(x) e substituir no lugar de x em f". Em símbolos: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Para funções envolvendo valor absoluto, lembrar que |\cdot| transforma qualquer número em seu valor não negativo; por exemplo |a+b| não se separa em |a|+|b| em geral, mas |ab|=|a||b| e |a|^2=a^2.
Para polinômios, basta substituir e então simplificar usando identidades algébricas (binômio, fatoração, etc.).
Vou aplicar essas regras em cada composição, substituindo explicitamente e simplificando quando for possível.
Passo 3
Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)):
Substituir g(x) em f. Como f(t)=|t|+2, com t=g(x)=x^{3}-x obtemos
(f\circ g)(x)=\big|x^{3}-x\big|+2.
Podemos fatorar o argumento do módulo para ficar mais claro:
Observação: pode-se usar |x|^{2}=x^{2} se quiser expressar alguns termos sem o módulo, mas manter |x| deixa explícita a não-negatividade da parte linear/cúbica.
Passo 5
Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)):
Substituir f(x) em f: f(f(x))= \big||x|+2\big|+2.
Notar que |x|+2\ge 2>0 para todo x, então o valor absoluto é desnecessário:
\big||x|+2\big| = |x|+2.
Portanto
(f\circ f)(x)=|x|+2+2=|x|+4.
Passo 6
Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)):
Substituir g(x) em g: definindo y=g(x)=x^{3}-x, temos
(g\circ g)(x)=y^{3}-y\quad\text{com }y=x^{3}-x,
ou seja
(g\circ g)(x)=(x^{3}-x)^{3}-(x^{3}-x).
Podemos fatorar y^{3}-y como y(y^{2}-1)=y(y-1)(y+1). Voltando a x,