Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=|x|+2, g(x)=x^{3}-x

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular as quatro composições entre f e g:
    1. (f\circ g)(x)=f(g(x))
    2. (g\circ f)(x)=g(f(x))
    3. (f\circ f)(x)=f(f(x))
    4. (g\circ g)(x)=g(g(x))
Informações fornecidas:
  • f(x)=|x|+2.
  • g(x)=x^{3}-x.

Passo 2

Conceito e regra prática (passo a passo curto e amigável):
  • Composição f\circ g significa "pegar g(x) e substituir no lugar de x em f". Em símbolos: (f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
  • Para funções envolvendo valor absoluto, lembrar que |\cdot| transforma qualquer número em seu valor não negativo; por exemplo |a+b| não se separa em |a|+|b| em geral, mas |ab|=|a||b| e |a|^2=a^2.
  • Para polinômios, basta substituir e então simplificar usando identidades algébricas (binômio, fatoração, etc.).
    Vou aplicar essas regras em cada composição, substituindo explicitamente e simplificando quando for possível.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)):
  • Substituir g(x) em f. Como f(t)=|t|+2, com t=g(x)=x^{3}-x obtemos
(f\circ g)(x)=\big|x^{3}-x\big|+2.
  • Podemos fatorar o argumento do módulo para ficar mais claro:
x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1),
logo também
\big|x^{3}-x\big| = |x|\;|x-1|\;|x+1|.
  • Resultado final (forma mais simples e intuitiva):
(f\circ g)(x)=\big|x^{3}-x\big|+2 = |x|\;|x-1|\;|x+1|+2.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)):
  • Substituir f(x) em g. Como g(t)=t^{3}-t e t=f(x)=|x|+2, obtemos
(g\circ f)(x)=(|x|+2)^{3}-(|x|+2).
  • Expandir o cubo usando a fórmula do binômio (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Aqui a=|x| e b=2. Calculando:
(|x|+2)^{3}=|x|^{3}+3\cdot|x|^{2}\cdot2+3\cdot|x|\cdot2^{2}+2^{3}
\phantom{(|x|+2)^{3}}=|x|^{3}+6|x|^{2}+12|x|+8.
  • Subtraindo |x|+2:
(g\circ f)(x)=\big(|x|^{3}+6|x|^{2}+12|x|+8\big)-\big(|x|+2\big)
\phantom{(g\circ f)(x)}=|x|^{3}+6|x|^{2}+11|x|+6.
  • Observação: pode-se usar |x|^{2}=x^{2} se quiser expressar alguns termos sem o módulo, mas manter |x| deixa explícita a não-negatividade da parte linear/cúbica.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)):
  • Substituir f(x) em f: f(f(x))= \big||x|+2\big|+2.
  • Notar que |x|+2\ge 2>0 para todo x, então o valor absoluto é desnecessário:
\big||x|+2\big| = |x|+2.
  • Portanto
(f\circ f)(x)=|x|+2+2=|x|+4.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)):
  • Substituir g(x) em g: definindo y=g(x)=x^{3}-x, temos
(g\circ g)(x)=y^{3}-y\quad\text{com }y=x^{3}-x,
ou seja
(g\circ g)(x)=(x^{3}-x)^{3}-(x^{3}-x).
  • Podemos fatorar y^{3}-y como y(y^{2}-1)=y(y-1)(y+1). Voltando a x,
(g\circ g)(x)=(x^{3}-x)\big((x^{3}-x)-1\big)\big((x^{3}-x)+1\big).
  • Alternativamente, manter na forma polinomial compacta também é correto:
(g\circ g)(x)=(x^{3}-x)^{3}-(x^{3}-x).
Essa forma mostra explicitamente a substituição e a possível fatoração para análise de zeros ou simplificações posteriores.

Passo 7

Verificação rápida (exemplos numéricos para ganhar confiança):
  • Tomando x=0: (f\circ g)(0)=|0^{3}-0|+2=0+2=2,
(g\circ f)(0)=|0|^{3}+6|0|^{2}+11|0|+6=6,
(f\circ f)(0)=|0|+4=4,
(g\circ g)(0)=(0^{3}-0)^{3}-(0^{3}-0)=0.
  • Esses cálculos batem com as fórmulas acima, então as expressões estão consistentes. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo!

Resposta

(f\circ g)(x)=\big|x^{3}-x\big|+2 = |x|\;|x-1|\;|x+1|+2
(g\circ f)(x)=|x|^{3}+6|x|^{2}+11|x|+6
(f\circ f)(x)=|x|+4
(g\circ g)(x)=(x^{3}-x)^{3}-(x^{3}-x)= (x^{3}-x)\big((x^{3}-x)-1\big)\big((x^{3}-x)+1\big)

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