Para cada par a e b de números inteiros abaixo, calcule o máximo divisor comum e determine r e s de modo que mdc (a, b)=r a+s b
a=642, b=231

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do máximo divisor comum de a=642 e b=231 e, em seguida, encontrar coeficientes r e s tais que
\text{mdc}(642,231)=r\cdot 642 + s\cdot 231.
Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para obter o \text{mdc} e depois o Algoritmo de Euclides Estendido para achar r e s.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides para encontrar \text{mdc}(642,231):
642 = 231\cdot 2 + 180
231 = 180\cdot 1 + 51
180 = 51\cdot 3 + 27
51 = 27\cdot 1 + 24
27 = 24\cdot 1 + 3
24 = 3\cdot 8 + 0
Como o resto chegou a zero, o último resto não nulo é
\text{mdc}(642,231)=3.

Passo 3

Agora expressamos 3 como combinação linear de 642 e 231, voltando pelas equações do Algoritmo de Euclides:
  1. 3 = 27 - 24.
  2. Mas 24 = 51 - 27, então
3 = 27 - (51 - 27) = 2\cdot 27 - 51.
  1. E 27 = 180 - 3\cdot 51, daí
3 = 2(180 - 3\cdot 51) - 51 = 2\cdot 180 - 7\cdot 51.
  1. Como 51 = 231 - 180,
3 = 2\cdot 180 - 7(231 - 180) = 9\cdot 180 - 7\cdot 231.
  1. E finalmente 180 = 642 - 2\cdot 231, logo
3 = 9(642 - 2\cdot 231) - 7\cdot 231 = 9\cdot 642 - 25\cdot 231.

Passo 4

Concluímos que os coeficientes buscados são r=9 e s=-25, pois
3 = 9\cdot 642 + (-25)\cdot 231.

Resposta

\text{mdc}(642,231)=3, com r=9 e s=-25.

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