Para cada par a e b de números inteiros abaixo, calcule o máximo divisor comum e determine r e s de modo que mdc (a, b)=r a+s b
a=251, b=-179

Passo 1

O enunciado pede o máximo divisor comum de a=251 e b=-179 e, em seguida, coeficientes r e s tais que
\gcd(a,b)=r\,a + s\,b.
O conteúdo principal é o Algoritmo de Euclides para calcular o \gcd e a Identidade de Bézout para obter r e s.

Passo 2

Aplicamos o Algoritmo de Euclides em \bigl|b\bigr|=179 e a=251:
\begin{aligned} 251 &= 1\cdot179 + 72,\\\\ 179 &= 2\cdot72 + 35,\\\\ 72 &= 2\cdot35 + 2,\\\\ 35 &= 17\cdot2 + 1,\\\\ 2 &= 2\cdot1 + 0. \end{aligned}
Como o resto zero aparece ao dividir 2 por 1, segue que
\gcd(251, -179)=\gcd(251,179)=1.

Passo 3

Agora fazemos a retro-substituição para escrever 1 como combinação linear dos restos:
  1. Da penúltima linha:
1 = 35 - 17\cdot2.
  1. Da linha anterior: 2 = 72 - 2\cdot35. Substituindo em 1:
1 = 35 - 17\,(72 - 2\cdot35) = 35 - 17\cdot72 + 34\cdot35 = 35\cdot35 - 17\cdot72.
  1. Da segunda linha: 35 = 179 - 2\cdot72. Substituindo:
1 = (179 - 2\cdot72)\cdot35 - 17\cdot72 = 35\cdot179 - 70\cdot72 - 17\cdot72 = 35\cdot179 - 87\cdot72.
  1. Da primeira linha: 72 = 251 - 1\cdot179. Substituindo:
1 = 35\cdot179 - 87\,(251 - 179) = 35\cdot179 - 87\cdot251 + 87\cdot179 = 122\cdot179 - 87\cdot251.

Passo 4

Lembrando que b=-179, temos 179=-b. Logo
1 = -87\cdot251 + 122\cdot179 = -87\,a + 122(-b) = -87\,a -122\,b.
Portanto, um par de coeficientes de Bézout é (r,s)=(-87,-122).

Resposta

\gcd(251,-179)=1 com
1 = (-87)\,251 + (-122)\,(-179).

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