Para cada par de proposições abertas p e q abaixo, diga se p é condição necessária ou suficiente para q:
p: M é uma matriz com determinante diferente de 0
q: M é uma matriz inversível

Passo 1

O enunciado dá duas proposições abertas sobre uma matriz M:
p:det(M)neq0
q:M é invertível
O conteúdo que vamos usar é o teorema fundamental de álgebra linear que afirma que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Verificamos se p é condição suficiente para q.
Assumindo det(M)neq0, o teorema garante a existência de uma matriz inversa M^-1 tal que
M M^-1=M^-1M=I
Portanto, det(M)neq0implies M é invertível, ou seja, p é suficiente para q.

Passo 3

Agora verificamos se p é condição necessária para q.
Assumindo que M é invertível, existe M^-1 com
M,M^-1=I
Aplicando o determinante em ambos os lados,
det(M),det(M^-1)=det(I)=1
Como o produto de dois números é 1, nenhum pode ser zero, de modo que det(M)neq0. Logo, M invertível impliesdet(M)neq0, ou seja, p é necessária para q.

Passo 4

Concluímos que pimplies q e qimplies p. Portanto, p é condição tanto necessária quanto suficiente para q.

Resposta

p é condição necessária e suficiente para q.

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