Para cada par de proposições abertas
e
abaixo, diga se
é condição necessária ou suficiente para
:
é uma matriz com determinante diferente de 0
é uma matriz inversível
Passo 1
O enunciado dá duas proposições abertas sobre uma matriz
:
é invertível
O conteúdo que vamos usar é o teorema fundamental de álgebra linear que afirma que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
O conteúdo que vamos usar é o teorema fundamental de álgebra linear que afirma que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Passo 2
Verificamos se
é condição suficiente para
.
Assumindo , o teorema garante a existência de uma matriz inversa
tal que
Assumindo
Portanto,
é invertível, ou seja,
é suficiente para
.
Passo 3
Agora verificamos se
é condição necessária para
.
Assumindo que é invertível, existe
com
Assumindo que
Aplicando o determinante em ambos os lados,
Como o produto de dois números é
, nenhum pode ser zero, de modo que
. Logo,
invertível
, ou seja,
é necessária para
.
Passo 4
Concluímos que
e
. Portanto,
é condição tanto necessária quanto suficiente para
.