Usando as propriedades dos logaritmos, expanda as expressões abaixo. log (10^xx^2(x^2+1)(x+2))

Passo 1

O enunciado pede para expandir log!l(tfrac10^xx^2(x^2+1)(x+2)r) usando as propriedades dos logaritmos. Vamos precisar de três regras principais:
  1. Regra do quociente: log!l(tfracABr)=log(A)-log(B).
  2. Regra do produto: log(A B)=log(A)+log(B).
  3. Regra da potência: logl(A^kr)=k,log(A).

Passo 2

Aplicamos primeiro a regra do quociente à expressão original, separando numerador e denominador:
log!l(tfrac10^xx^2(x^2+1)(x+2)r) =log!l(10^xr) -log!l(x^2(x^2+1)(x+2)r)

Passo 3

No segundo termo usamos a regra do produto repetidamente para separar cada fator do denominador:
log!l(x^2(x^2+1)(x+2)r) =log!l(x^2r) +log!l(x^2+1r) +log!l(x+2r)
Logo,
log!l(tfrac10^xx^2(x^2+1)(x+2)r) =log!l(10^xr) -l[log!l(x^2r)+log!l(x^2+1r)+log!l(x+2r)r]

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência em log!l(10^xr) e em log!l(x^2r):
log!l(10^xr)=x,log(10), log!l(x^2r)=2,log(x)
Substituindo, obtemos
log!l(tfrac10^xx^2(x^2+1)(x+2)r) =x,log(10) -l[2,log(x)+log(x^2+1)+log(x+2)r]

Resposta

boxed x,log(10);-;2,log(x);-;logl(x^2+1r);-;log(x+2)

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