Escolha 4 pontos do plano aleatoriamente, e una-os para formar um quadrilátero. Considere os pontos médios dos lados desse quadrilátero. Una-os para formar outro quadrilátero. Que figura foi formada?
Repita o processo 3 vezes, isto é, escolha 4 pontos do plano aleatoriamente e faça o processo do parágrafo anterior. Que figura sempre é formada? Use vetores para verificar que isso de fato sempre acontece.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que:
  • Escolher 4 pontos qualquer no plano e conectá-los para formar um quadrilátero.
  • Encontrar os pontos médios dos lados desse quadrilátero.
  • Conectar esses pontos médios para formar outro quadrilátero.
A pergunta é: que figura sempre é formada quando repetimos esse processo 3 vezes? Além disso, vamos usar vetores para confirmar que isso sempre acontece.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos quadriláteros e como os vetores podem nos ajudar nessa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Temos um quadrilátero qualquer, que pode ser qualquer forma de quatro lados: pode ser um trapézio, um losango, etc. O que queremos é descobrir a figura formada ao conectar os pontos médios dos lados desse quadrilátero.

Passo 3

Vamos falar sobre os pontos médios e o que acontece quando conectamos esses pontos. Quando você conecta os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero, o que você forma é sempre um paralelogramo. Isso é conhecido como o Teorema de Varignon.
O Teorema de Varignon diz que, independentemente da forma do quadrilátero original, os segmentos que unem os pontos médios dos lados formam um paralelogramo.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Primeiro, conectamos os pontos médios do quadrilátero original e obtemos um paralelogramo. Se repetirmos o processo, ou seja, encontrarmos os pontos médios desse paralelogramo e conectá-los novamente, o que obtemos?
Vamos analisar:
  • O primeiro quadrilátero é qualquer quadrilátero.
  • Ao conectar os pontos médios, formamos um primeiro paralelogramo.
  • Ao conectar os pontos médios desse primeiro paralelogramo, formamos um segundo paralelogramo.
E assim por diante. Cada vez que aplicamos o processo, obtemos um novo paralelogramo.

Passo 5

Para confirmar isso usando vetores, vamos considerar os vetores que representam os lados do quadrilátero.
Seja AB , BC , CD , e DA os vetores dos lados do quadrilátero.
Os pontos médios dos lados serão:
  • Médio de AB: M = A + B2
  • Médio de BC: N = B + C2
  • Médio de CD: P = C + D2
  • Médio de DA: Q = D + A2
Quando conectamos esses pontos médios, os vetores dos lados do novo quadrilátero serão:
  • MN = N - M = C - A2
  • NP = P - N = D - B2
  • PQ = Q - P = A - C2
  • QM = M - Q = B - D2
Observamos que:
  • MN = -PQ
  • NP = -QM
Isso mostra que os lados opostos são iguais e paralelos, ou seja, temos um paralelogramo.

Passo 6

Repetindo o processo:
  1. Conectamos os pontos médios do quadrilátero original e formamos um paralelogramo.
  2. Conectamos os pontos médios desse paralelogramo e formamos outro paralelogramo.
  3. Repetimos mais uma vez e obtemos mais um paralelogramo.
Em cada etapa, independentemente da forma do quadrilátero original, sempre formamos um paralelogramo.

Resposta

Sempre que repetimos o processo de conectar os pontos médios dos lados de um quadrilátero três vezes, a figura formada é sempre um paralelogramo.

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