Sejam r1 e r2 as retas
r1:lx=3+t y=-5 z=2+b t ; t in R e r2:lx=1-a s y=-3-2 s ; z=4 s s in R.
Analise todas as possibilidades para a posição relativa entre essas retas. Determine as relações entre os números a e b para que as retas r1 e r2 sejam:
paralelas,

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente analisar como duas retas no espaço se posicionam uma em relação à outra. Especificamente, queremos descobrir para quais valores de a e b as retas r1 e r2 são paralelas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e os conceitos de vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Nas equações paramétricas, os coeficientes que multiplicam os parâmetros ([t) e ) representam esses vetores.
Para :
O vetor diretor de .
Para :
O vetor diretor de .

Passo 3

Duas retas são paralelas se os seus vetores diretores são proporcionais, ou seja, se existe um número k tal que:
d1 = k cdot d2
Isso significa que cada componente de d1 deve ser igual ao correspondente em d2 multiplicado por k .

Passo 4

Vamos igualar as componentes dos vetores diretores:
1 = k cdot (-a) 0 = k cdot (-2) b = k cdot 4
A partir da segunda equação:
0 = k cdot (-2) implies k = 0
No entanto, se k = 0 , da primeira equação temos:
1 = 0 cdot (-a) implies 1 = 0
Isso é impossível, o que significa que não existe um k real que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 5

Como as retas r1 e r2 não têm vetores diretores proporcionais, concluímos que elas não são paralelas para nenhum valor real de a e b .

Resposta

Não existem valores de a e b que façam as retas r1 e r2 serem paralelas.

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