Para cada uma das parábolas, determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e esboce o gráfico.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede, para essa parábola: o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e um esboço do gráfico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é uma curva quadrática envolvendo
, então trata-se de uma parábola com eixo paralelo ao eixo (abertura horizontal). - Precisamos transformar a equação na forma padrão de uma parábola horizontal
para identificar o vértice
, o parâmetro
(distância vértice–foco), o foco
, a diretriz
e o eixo
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: completar o quadrado em
para colocar a equação na forma padrão.
Começamos com
Agrupando os termos em
:
Completa-se o quadrado para
. Lembre que
pois
.
Substituindo isso na equação:
Somando
obtemos
, então
Isolando o termo com
,
Colocando em evidência o fator
,
Passo 3
Agora temos a forma padrão comparável a
Comparando
com a forma padrão, identificamos:
Logo
Explicação do que esses símbolos significam:
-
é o vértice da parábola. -
é a distância do vértice ao foco, medida ao longo do eixo da parábola; como , a parábola abre para a direita (eixo paralelo ao , sentido positivo). - A equação da diretriz é
. - O foco tem coordenadas
. - O eixo da parábola é a reta horizontal
.
Passo 4
Calculemos explicitamente os elementos pedidos:
Vértice
:
Foco
:
Diretriz
:
ou seja, a diretriz é a reta vertical
.
Eixo:
A parábola tem eixo horizontal na reta
.
Comentário adicional útil para o esboço: o comprimento da latus rectum (o segmento focal, perpendicular ao eixo e passando pelo foco) vale
. Seus extremos têm coordenadas
isto é,
e
. Esses dois pontos ajudam a desenhar a abertura da parábola.
Passo 5
Alguns pontos para posicionar no esboço (opcionais, mostrados para facilitar o desenho):
- No vértice
só existe . - Para
(um pouco à esquerda do foco) substitui-se em :
Portanto pontos na parábola em
são
- Os extremos da latus rectum em
já foram dados: e .
Como esboçar (passo a passo, na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o vértice
. - Desenhe o eixo horizontal
. - Marque o foco
à direita do vértice e a diretriz (reta vertical à esquerda do vértice). - Marque os pontos da latus rectum
e . - Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos calculados, abrindo para a direita, com simetria em relação ao eixo
.
Dica motivacional: com a forma padrão
dominar os passos fica direto — completar quadrado, identificar
e
, e a geometria segue automaticamente. Você já fez a parte mais trabalhosa ao completar o quadrado; o resto é aplicação direta.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Eixo:
Foco:
Diretriz:
Eixo: