Para cada uma das parábolas, determine o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e esboce o gráfico.
y^{2}+6 y-8 x+17=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva
y^{2}+6y-8x+17=0
e pede, para essa parábola: o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e um esboço do gráfico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é uma curva quadrática envolvendo y^{2}, então trata-se de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x (abertura horizontal).
  • Precisamos transformar a equação na forma padrão de uma parábola horizontal
(y-k)^{2}=4p(x-h),
para identificar o vértice (h,k), o parâmetro p (distância vértice–foco), o foco (h+p,k), a diretriz x=h-p e o eixo y=k.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: completar o quadrado em y para colocar a equação na forma padrão.
Começamos com
y^{2}+6y-8x+17=0.
Agrupando os termos em y:
(y^{2}+6y)-8x+17=0.
Completa-se o quadrado para y^{2}+6y. Lembre que
y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9,
pois (y+3)^{2}=y^{2}+6y+9.
Substituindo isso na equação:
(y+3)^{2}-9-8x+17=0.
Somando -9+17 obtemos 8, então
(y+3)^{2}-8x+8=0.
Isolando o termo com x,
(y+3)^{2}=8x-8.
Colocando em evidência o fator 8,
(y+3)^{2}=8(x-1).

Passo 3

Agora temos a forma padrão comparável a
(y-k)^{2}=4p(x-h).
Comparando
(y+3)^{2}=8(x-1)
com a forma padrão, identificamos:
h=1,\qquad k=-3,\qquad 4p=8.
Logo
p=\frac{8}{4}=2.
Explicação do que esses símbolos significam:
  • (h,k) é o vértice da parábola.
  • p é a distância do vértice ao foco, medida ao longo do eixo da parábola; como p>0, a parábola abre para a direita (eixo paralelo ao x, sentido positivo).
  • A equação da diretriz é x=h-p.
  • O foco tem coordenadas (h+p,k).
  • O eixo da parábola é a reta horizontal y=k.

Passo 4

Calculemos explicitamente os elementos pedidos:
Vértice (h,k):
(h,k)=(1,-3).
Foco (h+p,k):
(h+p,k)=(1+2,-3)=(3,-3).
Diretriz x=h-p:
x=1-2=-1,
ou seja, a diretriz é a reta vertical x=-1.
Eixo:
y=k \Rightarrow y=-3.
A parábola tem eixo horizontal na reta y=-3.
Comentário adicional útil para o esboço: o comprimento da latus rectum (o segmento focal, perpendicular ao eixo e passando pelo foco) vale |4p|=8. Seus extremos têm coordenadas
(h+p,\;k\pm 2p)=(3,\;-3\pm 4),
isto é, (3,1) e (3,-7). Esses dois pontos ajudam a desenhar a abertura da parábola.

Passo 5

Alguns pontos para posicionar no esboço (opcionais, mostrados para facilitar o desenho):
  • No vértice x=1 só existe y=-3.
  • Para x=2 (um pouco à esquerda do foco) substitui-se em (y+3)^{2}=8(x-1):
(y+3)^{2}=8(2-1)=8 \Rightarrow y+3=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}.
Portanto pontos na parábola em x=2 são
\bigl(2,\;-3+2\sqrt{2}\bigr)\approx(2,-0{,}172),\qquad \bigl(2,\;-3-2\sqrt{2}\bigr)\approx(2,-5{,}828).
  • Os extremos da latus rectum em x=3 já foram dados: (3,1) e (3,-7).
Como esboçar (passo a passo, na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (1,-3).
  3. Desenhe o eixo horizontal y=-3.
  4. Marque o foco (3,-3) à direita do vértice e a diretriz x=-1 (reta vertical à esquerda do vértice).
  5. Marque os pontos da latus rectum (3,1) e (3,-7).
  6. Desenhe uma curva suave passando pelo vértice e pelos pontos calculados, abrindo para a direita, com simetria em relação ao eixo y=-3.
Dica motivacional: com a forma padrão (y-k)^{2}=4p(x-h) dominar os passos fica direto — completar quadrado, identificar (h,k) e p, e a geometria segue automaticamente. Você já fez a parte mais trabalhosa ao completar o quadrado; o resto é aplicação direta.

Resposta

Vértice: (1,-3)
Foco: (3,-3)
Diretriz: x=-1
Eixo: y=-3

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