Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da Terra em k m^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Informação 1: A Terra é considerada uma esfera.
  • Informação 2: O metro foi definido como a décima milionésima parte do quarto do meridiano. Isso significa que o comprimento do quarto do meridiano vale 10\,000\,000 metros.
  • Pedido: Determinar a superfície da Terra em \mathrm{km}^{2}.
Vou trabalhar com essas informações e usar fórmulas para esfera para chegar à área superficial.

Passo 2

Entender a relação entre o quarto do meridiano e o raio da Terra.
  • A circunferência máxima (meridiano completo, isto é, um grande círculo da esfera) tem comprimento 2\pi R, onde R é o raio da Terra.
  • Um quarto do meridiano é \tfrac{1}{4} dessa circunferência, logo o comprimento do quarto do meridiano é
\frac{1}{4}\cdot 2\pi R = \frac{\pi}{2}\,R.
  • Pelo enunciado esse comprimento vale 10\,000\,000 metros. Portanto vale a igualdade
\frac{\pi}{2}\,R = 10\,000\,000.

Passo 3

Isolar o raio R a partir da equação do passo anterior.
  • A equação é
\frac{\pi}{2}\,R = 10\,000\,000.
  • Resolvendo para R:
R = \frac{2\cdot 10\,000\,000}{\pi} = \frac{20\,000\,000}{\pi}\\ \text{metros}.
  • Valor numérico aproximado (dividindo por \pi):
R \approx \frac{20\,000\,000}{3{,}1415926536}\approx 6\,366\,197{,}72\\ \text{m}.
  • Em quilômetros:
R \approx 6\,366{,}19772\\ \text{m} = 6\,366{,}19772\\ \text{km}\\ \text{(dividindo por }1000\text{)}.

Passo 4

Apresentar a fórmula da área superficial de uma esfera e explicar o que cada símbolo significa.
  • Fórmula conhecida: a área superficial S de uma esfera de raio R é
S = 4\pi R^{2}.
  • Aqui S é a área total da superfície (unidade de comprimento ao quadrado), R é o raio da esfera (unidade de comprimento) e \pi é a constante geométrica aproximadamente igual a 3{,}14159.
  • Vamos usar essa fórmula com o R encontrado.

Passo 5

Calcular simbolicamente a área em metros quadrados e converter para \mathrm{km}^{2}.
  • Substituindo R = \dfrac{20\,000\,000}{\pi} em S=4\pi R^{2}:
R^{2}=\left(\frac{20\,000\,000}{\pi}\right)^{2}=\frac{(20\,000\,000)^{2}}{\pi^{2}}=\frac{4\cdot 10^{14}}{\pi^{2}}.
S=4\pi\cdot R^{2}=4\pi\cdot\frac{4\cdot 10^{14}}{\pi^{2}}=\frac{16\cdot 10^{14}}{\pi}=\frac{1{,}6\cdot 10^{15}}{\pi}\\ \text{m}^{2}.
  • Converter para \mathrm{km}^{2} dividindo por 10^{6}:
S_{\text{km}^{2}}=\frac{1{,}6\cdot 10^{9}}{\pi}\\ \mathrm{km}^{2}.

Passo 6

Avaliar numericamente a expressão para obter a resposta em \mathrm{km}^{2}.
  • Calculando numericamente:
S_{\text{km}^{2}}\approx \frac{1{,}6\times 10^{9}}{3{,}1415926536}\approx 509\,295\,817{,}94\\ \mathrm{km}^{2}.
  • Arredondando para o inteiro mais próximo (suficiente para essa estimativa histórica da definição do metro):
S\approx 509\,295\,818\\ \mathrm{km}^{2}.

Resposta

509\,295\,818\\ \mathrm{km}^{2}

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