Determine
que satisfaz o Teorema de Rolle se
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
que satisfaz o Teorema de Rolle para a função
.
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo fechado:
. - Pedido: encontrar
no intervalo (mais precisamente em , segundo o Teorema de Rolle) que satisfaz as hipóteses do teorema e tal que .
Passo 2
Enunciando o Teorema de Rolle (com explicação didática):
- Se uma função
é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto e satisfaz , então existe pelo menos um ponto tal que .
Explicando os termos: - “Contínua” no intervalo significa que não há saltos nem quebras no gráfico entre
e ; para polinômios isso sempre vale. - “Diferenciável” em
significa que a derivada existe em cada ponto interno; para polinômios isso também sempre vale. - A conclusão é que a reta tangente em algum ponto interno é horizontal, ou seja, a derivada é zero nesse ponto.
Passo 3
Verificar as hipóteses do teorema para
no intervalo
:
- Polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em todo
. Logo é contínua em e diferenciável em . - Agora verificar a condição
. Calcular cada valor:
Portanto
e
, ou seja
.
Passo 4
Como todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas (continuidade, diferenciabilidade e
), conclui-se que existe pelo menos um
tal que
.
Passo 5
Calcular a derivada de
e resolver
:
- Derivada de
: (Aqui usei que , , .) - Resolver
: - Verificar que
pertence a : de fato , então está no intervalo interno exigido pelo teorema.
Passo 6
Interpretação final e comentário rápido:
- Encontrou-se um único ponto crítico para essa derivada linear (como esperado para uma parábola):
. Nesse ponto a tangente é horizontal e corresponde ao vértice da parábola (note que , então o vértice está em ).