Determine c \in[-3,-1] que satisfaz o Teorema de Rolle se f(x)=x^{2}+4 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar c\in[-3,-1] que satisfaz o Teorema de Rolle para a função f(x)=x^{2}+4x+5.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{2}+4x+5.
  • Intervalo fechado: [-3,-1].
  • Pedido: encontrar c no intervalo [-3,-1] (mais precisamente em (-3,-1), segundo o Teorema de Rolle) que satisfaz as hipóteses do teorema e tal que f'\text{(c)}=0.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Rolle (com explicação didática):
  • Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b], diferenciável no intervalo aberto (a,b) e satisfaz f(a)=f(b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=0.
    Explicando os termos:
  • “Contínua” no intervalo significa que não há saltos nem quebras no gráfico entre a e b; para polinômios isso sempre vale.
  • “Diferenciável” em (a,b) significa que a derivada existe em cada ponto interno; para polinômios isso também sempre vale.
  • A conclusão é que a reta tangente em algum ponto interno é horizontal, ou seja, a derivada é zero nesse ponto.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teorema para f(x)=x^{2}+4x+5 no intervalo [-3,-1]:
  • Polinômios são funções que são contínuas e diferenciáveis em todo \mathbb{R}. Logo f é contínua em [-3,-1] e diferenciável em (-3,-1).
  • Agora verificar a condição f(-3)=f(-1). Calcular cada valor: f(-3)=(-3)^{2}+4(-3)+5=9-12+5=2.
f(-1)=(-1)^{2}+4(-1)+5=1-4+5=2.
Portanto f(-3)=2 e f(-1)=2, ou seja f(-3)=f(-1).

Passo 4

Como todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas (continuidade, diferenciabilidade e f(-3)=f(-1)), conclui-se que existe pelo menos um c\in(-3,-1) tal que f'\text{(c)}=0.

Passo 5

Calcular a derivada de f e resolver f'\text{(c)}=0:
  • Derivada de f(x)=x^{2}+4x+5: f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(5\bigr)=2x+4+0=2x+4.(Aqui usei que \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, \dfrac{d}{dx}4x=4, \dfrac{d}{dx}5=0.)
  • Resolver f'\text{(c)}=0: 2c+4=0 \quad\Rightarrow\quad 2c=-4 \quad\Rightarrow\quad c=-2.
  • Verificar que c=-2 pertence a (-3,-1): de fato -3<-2<-1, então está no intervalo interno exigido pelo teorema.

Passo 6

Interpretação final e comentário rápido:
  • Encontrou-se um único ponto crítico para essa derivada linear (como esperado para uma parábola): c=-2. Nesse ponto a tangente é horizontal e corresponde ao vértice da parábola f(x)=x^{2}+4x+5 (note que f(x)=(x+2)^{2}+1, então o vértice está em x=-2).

Resposta

-2

Exercícios relacionados