Para cada um dos pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
x=-4+t^{2} e y=1-t ; t ∈ R

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas paramétricas
x = -4 + t^2,\quad y = 1 - t,\quad t\in\mathbb{R}
e pede (i) um esboço da curva e (ii) a sua equação cartesiana. O conteúdo é eliminação do parâmetro e reconhecimento de uma parábola no plano.

Passo 2

Começamos isolando t na segunda equação. Como
y = 1 - t,
temos
t = 1 - y.

Passo 3

Substituímos t = 1 - y em
x = -4 + t^2
e obtemos
x = -4 + (\,1 - y\,)^2.

Passo 4

Reorganizando para evidenciar a forma canônica de parábola, escrevemos
(1 - y)^2 = x + 4
ou ainda
(y - 1)^2 = x + 4.
Isso mostra uma parábola com vértice em (-4,1), eixo de simetria paralelo ao eixo x (reta y=1) e concavidade voltada para a direita.

Passo 5

Para esboçar a curva basta marcar o vértice em (-4,1), traçar a reta horizontal y=1 como eixo de simetria e desenhar uma parábola que se abre para a direita. Pontos adicionais: quando t=0 temos (x,y)=(-4,1) (vértice), quando t=1 temos (x,y)=(-3,0), e quando t=-1 temos (x,y)=(-3,2), reforçando a forma simétrica.

Resposta

Equação cartesiana:
(y - 1)^2 = x + 4.
Esboço: parábola de vértice em (-4,1), eixo de simetria y=1 e concavidade para a direita.

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