Para cada um dos pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana removendo o parâmetro t.
x=\cos (t) \quad y=-3+\operatorname{sen}(t) \quad 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=\cos(t),\qquad y=-3+\operatorname{sen}(t),
com o parâmetro variando em 0\le t\le \pi.
O que é pedido:
  • Esboçar (descrever) a curva gerada por essas equações.
  • Determinar a equação cartesiana da curva, eliminando o parâmetro t.

Passo 2

Ideia para eliminar t: usar a identidade trigonométrica básica
\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1.
Aqui temos \cos(t)=x e \sin(t)=y+3 (porque y=-3+\operatorname{sen}(t) implica \operatorname{sen}(t)=y+3). Vou explicar isso com calma: a função \cos(t) dá o valor de x, então sempre que aparecer \cos(t) eu posso substituir por x. Do mesmo modo, \sin(t)=y+3. Substituindo esses em \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos uma relação apenas entre x e y.

Passo 3

Substituindo \cos(t)=x e \sin(t)=y+3 em \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 vem
(y+3)^{2}+x^{2}=1.
Essa é a equação cartesiana da curva: é a equação de um círculo de centro (0,-3) e raio 1, escrita habitualmente como
x^{2}+(y+3)^{2}=1.

Passo 4

Agora usar o intervalo 0\le t\le \pi para determinar que parte do círculo é percorrida. Para t em [0,\pi] vale \sin(t)\ge 0. Como \sin(t)=y+3, isso implica
y+3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad y\ge -3.
Portanto somente a parte do círculo com y\ge -3 é usada, ou seja, o semicírculo superior do círculo de centro (0,-3) e raio 1.

Passo 5

Pontos notáveis (para ajudar no esboço):
\begin{aligned} t=0&:\quad (x,y)=(\cos 0,\,-3+\sin 0)=(1,-3),\\\ t=\tfrac{\pi}{2}&:\quad (x,y)=(\cos\tfrac{\pi}{2},\,-3+\sin\tfrac{\pi}{2})=(0,-2),\\\ t=\pi&:\quad (x,y)=(\cos\pi,\,-3+\sin\pi)=(-1,-3). \end{aligned}
Esses três pontos mostram que o arco vai do ponto (1,-3) até (-1,-3) passando por (0,-2). Quanto à orientação: quando t aumenta de 0 a \pi, o ponto move-se da direita para a esquerda ao longo do semicírculo superior.

Passo 6

Dica prática para a prova (regra geral): se aparecerem parametrizações do tipo
x=h+a\cos t,\qquad y=k+a\sin t,
então a equação cartesiana é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=a^{2},
que representa um círculo de centro (h,k) e raio |a|. Depois verifique o intervalo de t para saber se é o círculo inteiro ou apenas um arco/semicírculo.

Resposta

x^{2}+(y+3)^{2}=1
Semicírculo superior do círculo de centro (0,-3) e raio 1, com extremos (1,-3) e (-1,-3), percorrido de (1,-3) para (-1,-3) quando t vai de 0 a \pi.

Exercícios relacionados