Para cada um dos pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana removendo o parâmetro
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
com o parâmetro variando em
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Esboçar (descrever) a curva gerada por essas equações.
- Determinar a equação cartesiana da curva, eliminando o parâmetro
.
Passo 2
Ideia para eliminar
: usar a identidade trigonométrica básica
Aqui temos
e
(porque
implica
). Vou explicar isso com calma: a função
dá o valor de
, então sempre que aparecer
eu posso substituir por
. Do mesmo modo,
. Substituindo esses em
obtemos uma relação apenas entre
e
.
Passo 3
Substituindo
e
em
vem
Essa é a equação cartesiana da curva: é a equação de um círculo de centro
e raio
, escrita habitualmente como
Passo 4
Agora usar o intervalo
para determinar que parte do círculo é percorrida. Para
em
vale
. Como
, isso implica
Portanto somente a parte do círculo com
é usada, ou seja, o semicírculo superior do círculo de centro
e raio
.
Passo 5
Pontos notáveis (para ajudar no esboço):
Esses três pontos mostram que o arco vai do ponto
até
passando por
. Quanto à orientação: quando
aumenta de
a
, o ponto move-se da direita para a esquerda ao longo do semicírculo superior.
Passo 6
Dica prática para a prova (regra geral): se aparecerem parametrizações do tipo
então a equação cartesiana é
que representa um círculo de centro
e raio
. Depois verifique o intervalo de
para saber se é o círculo inteiro ou apenas um arco/semicírculo.
Resposta
Semicírculo superior do círculo de centro