Os pares de equações paramétricas a seguir representam a mesma curva? Explique.
Passo 1
O enunciado nos dá um par de equações paramétricas e pede para verificar se elas representam a mesma curva (ou seja, identificar a curva descrita). Os dados fornecidos são:
-
, -
, -
.
O que precisamos determinar:
- qual é a equação cartesiana (sem o parâmetro) correspondente a esse par;
- quais pontos dessa equação cartesiana são realmente produzidos por algum
(restrições de domínio/alcance); - se a parametrização é injetora (se valores diferentes de
podem dar o mesmo ponto) e como a curva é percorrida.
Passo 2
Técnica usada para eliminar o parâmetro: somar as duas expressões para eliminar o termo
. Isso é uma técnica padrão: quando as duas coordenadas envolvem uma mesma expressão em
(aqui
), somá-las ou operá-las adequadamente pode cancelar o parâmetro e revelar a relação entre
e
.
Calculemos:
Portanto a relação cartesiana é
Passo 3
Agora precisamos verificar se todos os pontos da reta
aparecem na parametrização ou se há alguma restrição. Observe que
para todo
. Da expressão de
temos
Como
, isso implica
Logo os pontos gerados satisfazem
e
. Em palavras: a parametrização descreve a porção da reta
com
maior ou igual a
.
Passo 4
Mostrar que todo ponto da porção determinada é realmente atingido por algum
: seja um ponto qualquer da reta com
. Então
e podemos definir
Com essa escolha temos
, e então
e
. Portanto toda a semirreta com
é coberta pela parametrização.
Passo 5
Comportamento da parametrização (injeção e orientação):
- Injeção: a parametrização não é injetora, porque
e dão o mesmo valor de e, portanto, o mesmo ponto . Só o caso é único. Então, em geral, cada ponto com é atingido duas vezes (uma vez por e outra por ). - Orientação/percorrimento: conforme
cresce, cresce, logo aumenta e diminui seguindo a reta . Quando passa de negativo para positivo através de zero a parametrização volta a percorrer os mesmos pontos (não há um sentido único dado por que percorra a semirreta sem repetir pontos).
Passo 6
Interpretação geométrica final e forma conveniente para a resposta: a curva é a semirreta da reta
com extremidade em
estendendo-se no sentido do vetor
. Em notação de conjunto: