Os pares de equações paramétricas a seguir representam a mesma curva? Explique.
x=-1+t^{2} \quad y=2-t^{2} \quad t \in R

Passo 1

O enunciado nos dá um par de equações paramétricas e pede para verificar se elas representam a mesma curva (ou seja, identificar a curva descrita). Os dados fornecidos são:
  • x=-1+t^{2},
  • y=2-t^{2},
  • t\in\mathbb{R}.
O que precisamos determinar:
  • qual é a equação cartesiana (sem o parâmetro) correspondente a esse par;
  • quais pontos dessa equação cartesiana são realmente produzidos por algum t (restrições de domínio/alcance);
  • se a parametrização é injetora (se valores diferentes de t podem dar o mesmo ponto) e como a curva é percorrida.

Passo 2

Técnica usada para eliminar o parâmetro: somar as duas expressões para eliminar o termo t^{2}. Isso é uma técnica padrão: quando as duas coordenadas envolvem uma mesma expressão em t (aqui t^{2}), somá-las ou operá-las adequadamente pode cancelar o parâmetro e revelar a relação entre x e y.
Calculemos:
x+y = (-1+t^{2}) + (2-t^{2}) = 1.
Portanto a relação cartesiana é
y = 1 - x.

Passo 3

Agora precisamos verificar se todos os pontos da reta \,y=1-x aparecem na parametrização ou se há alguma restrição. Observe que t^{2}\ge 0 para todo t\in\mathbb{R}. Da expressão de x temos
x = -1 + t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2} = x+1.
Como t^{2}\ge 0, isso implica
x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -1.
Logo os pontos gerados satisfazem y=1-x e x\ge -1. Em palavras: a parametrização descreve a porção da reta y=1-x com x maior ou igual a -1.

Passo 4

Mostrar que todo ponto da porção determinada é realmente atingido por algum t: seja um ponto qualquer da reta com x\ge -1. Então x+1\ge 0 e podemos definir
t = \sqrt{x+1}\quad\text{ou}\quad t = -\sqrt{x+1}.
Com essa escolha temos t^{2}=x+1, e então x=-1+t^{2} e y=2-t^{2}=2-(x+1)=1-x. Portanto toda a semirreta com x\ge -1 é coberta pela parametrização.

Passo 5

Comportamento da parametrização (injeção e orientação):
  • Injeção: a parametrização não é injetora, porque t e -t dão o mesmo valor de t^{2} e, portanto, o mesmo ponto (x,y). Só o caso t=0 é único. Então, em geral, cada ponto com x>-1 é atingido duas vezes (uma vez por t>0 e outra por t<0).
  • Orientação/percorrimento: conforme |t| cresce, t^{2} cresce, logo x aumenta e y diminui seguindo a reta y=1-x. Quando t passa de negativo para positivo através de zero a parametrização volta a percorrer os mesmos pontos (não há um sentido único dado por t que percorra a semirreta sem repetir pontos).

Passo 6

Interpretação geométrica final e forma conveniente para a resposta: a curva é a semirreta da reta y=1-x com extremidade em (-1,2) estendendo-se no sentido do vetor (1,-1). Em notação de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=1-x,\; x\ge -1\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=1-x,\; x\ge -1\}

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