Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que A E=B.
(a) A=\left(\begin{array}{lll}4 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede: achar uma matriz elementar E tal que A E = B.
As colunas de A são, em ordem, \;c_1=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\; c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\; c_3=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix}.
As colunas de B são, em ordem, \;b_1=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\; b_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar uma matriz elementar E que, ao multiplicar A pela direita, transforme as colunas de A nas colunas de B.]
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo, do jeito que se presta para a prova):
Multiplicar uma matriz A pela direita por uma matriz E corresponde a fazer operações elementares nas colunas de A. Ou seja, AE tem colunas que são combinações lineares das colunas de A, e se E for uma matriz elementar que representa uma simples operação de coluna, então AE é o resultado dessa operação aplicada às colunas de A.
Existem três tipos de matrizes elementares (relacionadas a operações sobre linhas quando multiplicam pela esquerda, ou sobre colunas quando multiplicam pela direita):
permutar duas colunas (matriz permutação),
multiplicar uma coluna por um escalar,
adicionar a uma coluna um múltiplo de outra coluna.
Para identificar qual operação usar, compare as colunas de A e de B. Se as colunas de B forem apenas as colunas de A reordenadas, trata‑se de uma permutação de colunas (caso 1).
Agora vamos comparar explicitamente as colunas que listei no Passo 1:
Ou seja, B foi obtida de A trocando a coluna 1 com a coluna 3. Logo a operação necessária é uma permutação das colunas 1 e 3.]
Passo 3
Construção da matriz elementar E que faz essa troca:
A matriz identidade I_3 tem colunas e_1,e_2,e_3 (os vetores canônicos). Para obter a matriz elementar que troca as colunas 1 e 3, basta aplicar a mesma permutação às colunas de I_3: trocar a coluna 1 com a coluna 3. Assim as colunas de E serão e_3,e_2,e_1 (nessa ordem).
A e_2 = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}=b_2, \qquad A e_1 = \begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}=b_3.
Logo AE=B.]
Passo 4
Observações finais e dica para a prova (curta e útil):
Sempre que o enunciado pede AE=B, é útil comparar colunas de A e B; se B for apenas uma reordenação das colunas de A, então E é uma matriz permutação obtida reordenando as colunas de I.
Matriz de troca de duas colunas é simétrica e sua própria inversa; ou seja, E^{-1}=E. Isso pode ser usado para checar rapidamente: se E=A^{-1}B e E tem forma de permutação simples, está correto.