Para cada um dos pares de matrizes seguintes, ache uma matriz elementar E tal que A E=B.
(a) A=\left(\begin{array}{lll}4 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4 \\\\ 1 & 3 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 4 \\\\ 4 & 1 & 2 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: achar uma matriz elementar E tal que A E = B.
As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix}4 & 1 & 3 \\[4pt] 2 & 1 & 4 \\[4pt] 1 & 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}3 & 1 & 4 \\[4pt] 4 & 1 & 2 \\[4pt] 2 & 3 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • As colunas de A são, em ordem, \;c_1=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\; c_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\; c_3=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  • As colunas de B são, em ordem, \;b_1=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix},\; b_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar uma matriz elementar E que, ao multiplicar A pela direita, transforme as colunas de A nas colunas de B.]

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo, do jeito que se presta para a prova):
  • Multiplicar uma matriz A pela direita por uma matriz E corresponde a fazer operações elementares nas colunas de A. Ou seja, AE tem colunas que são combinações lineares das colunas de A, e se E for uma matriz elementar que representa uma simples operação de coluna, então AE é o resultado dessa operação aplicada às colunas de A.
  • Existem três tipos de matrizes elementares (relacionadas a operações sobre linhas quando multiplicam pela esquerda, ou sobre colunas quando multiplicam pela direita):
    1. permutar duas colunas (matriz permutação),
    2. multiplicar uma coluna por um escalar,
    3. adicionar a uma coluna um múltiplo de outra coluna.
  • Para identificar qual operação usar, compare as colunas de A e de B. Se as colunas de B forem apenas as colunas de A reordenadas, trata‑se de uma permutação de colunas (caso 1).
Agora vamos comparar explicitamente as colunas que listei no Passo 1:
b_1=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix}=c_3,\qquad b_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}=c_2,\qquad b_3=\begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}=c_1.
Ou seja, B foi obtida de A trocando a coluna 1 com a coluna 3. Logo a operação necessária é uma permutação das colunas 1 e 3.]

Passo 3

Construção da matriz elementar E que faz essa troca:
  • A matriz identidade I_3 tem colunas e_1,e_2,e_3 (os vetores canônicos). Para obter a matriz elementar que troca as colunas 1 e 3, basta aplicar a mesma permutação às colunas de I_3: trocar a coluna 1 com a coluna 3. Assim as colunas de E serão e_3,e_2,e_1 (nessa ordem).
  • Escrevendo isso como matriz:
E=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicação por que isso funciona (passo a passo computacional, como fazer na prova sem mistério):
  • A multiplicação por colunas satisfaz
AE = \bigl(A\,\text{col}_1(E)\;\; A\,\text{col}_2(E)\;\; A\,\text{col}_3(E)\bigr).
  • As colunas de E são \text{col}_1(E)=e_3,\; \text{col}_2(E)=e_2,\; \text{col}_3(E)=e_1. Então
AE = \bigl(A e_3\;\; A e_2\;\; A e_1\bigr).
  • Mas A e_j é exatamente a j-ésima coluna de A. Portanto
AE = \bigl(c_3\;\; c_2\;\; c_1\bigr),
que, como vimos, é precisamente B.
Para ficar bem concreto, pode-se multiplicar explicitamente:
A e_3 = \begin{pmatrix}4 & 1 & 3 \\[2pt] 2 & 1 & 4 \\[2pt] 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]2\end{pmatrix}=b_1,
A e_2 = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}=b_2, \qquad A e_1 = \begin{pmatrix}4\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}=b_3.
Logo AE=B.]

Passo 4

Observações finais e dica para a prova (curta e útil):
  • Sempre que o enunciado pede AE=B, é útil comparar colunas de A e B; se B for apenas uma reordenação das colunas de A, então E é uma matriz permutação obtida reordenando as colunas de I.
  • Matriz de troca de duas colunas é simétrica e sua própria inversa; ou seja, E^{-1}=E. Isso pode ser usado para checar rapidamente: se E=A^{-1}B e E tem forma de permutação simples, está correto.

Resposta

E=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\end{pmatrix}]

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