(a) Expresse A como um produto de matrizes elementares.
(b) Expresse A^{-i} como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
Foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}.
Pede-se:
(a) Expressar A como um produto de matrizes elementares.
(b) Expressar A^{-1} como um produto de matrizes elementares.]
Passo 2
O que são matrizes elementares e a estratégia que vamos usar (sem calcular ainda).
Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar sobre as linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Cada operação elementar corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar.
Duas propriedades úteis e simples:
Se E é matriz elementar correspondente a uma operação sobre linhas, então E é invertível e E^{-1} também é matriz elementar (a operação inversa).
Se conseguirmos operar sobre A com uma sequência de matrizes elementares E_k\cdots E_1 tal que
E_k\cdots E_1 A = I,então multiplicando à direita por A^{-1} obtemosE_k\cdots E_1 = A^{-1},e portantoA = (E_k\cdots E_1)^{-1} = E_1^{-1}\cdots E_k^{-1},o que nos dá A como produto de matrizes elementares (porque cada E_i^{-1} é elemento elemental).
Estratégia prática: aplicar eliminação de Gauss em A para transformá-la em I, registrar as matrizes elementares usadas; daí lemos A^{-1} diretamente como produto das matrizes elementares aplicadas e A como produto das inversas dessas matrizes.
Passo 3
Fazer a eliminação em A para obter I, registrando as matrizes elementares.
Começamos com
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}.
Queremos transformar A em I fazendo operações sobre linhas (isto é, multiplicando à esquerda por matrizes elementares). Vamos fazer três operações:
Operação 1: tornar o pivô a_{11} igual a 1 dividindo a primeira linha por 2.
Operação sobre linhas: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Para expressar A como produto de matrizes elementares, usamos que cada E_i é invertível e E_i^{-1} é também elementar. Tomando inversa da igualdade anterior:
A = (E_3 E_2 E_1)^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1}.
Calculemos as inversas (cada uma corresponde à operação inversa):