Seja
A=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 6 & 4 \end{array}\right)
(a) Expresse A como um produto de matrizes elementares.
(b) Expresse A^{-i} como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • Foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}.
  • Pede-se:
    (a) Expressar A como um produto de matrizes elementares.
    (b) Expressar A^{-1} como um produto de matrizes elementares.]

Passo 2

O que são matrizes elementares e a estratégia que vamos usar (sem calcular ainda).
  • Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar sobre as linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, ou somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Cada operação elementar corresponde a multiplicar à esquerda por uma matriz elementar.
  • Duas propriedades úteis e simples:
    1. Se E é matriz elementar correspondente a uma operação sobre linhas, então E é invertível e E^{-1} também é matriz elementar (a operação inversa).
    2. Se conseguirmos operar sobre A com uma sequência de matrizes elementares E_k\cdots E_1 tal que
    E_k\cdots E_1 A = I,então multiplicando à direita por A^{-1} obtemos E_k\cdots E_1 = A^{-1},e portanto A = (E_k\cdots E_1)^{-1} = E_1^{-1}\cdots E_k^{-1},o que nos dá A como produto de matrizes elementares (porque cada E_i^{-1} é elemento elemental).
  • Estratégia prática: aplicar eliminação de Gauss em A para transformá-la em I, registrar as matrizes elementares usadas; daí lemos A^{-1} diretamente como produto das matrizes elementares aplicadas e A como produto das inversas dessas matrizes.

Passo 3

Fazer a eliminação em A para obter I, registrando as matrizes elementares.
Começamos com
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}.
Queremos transformar A em I fazendo operações sobre linhas (isto é, multiplicando à esquerda por matrizes elementares). Vamos fazer três operações:
Operação 1: tornar o pivô a_{11} igual a 1 dividindo a primeira linha por 2.
  • Operação sobre linhas: R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
  • Matriz elementar correspondente:
E_1=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Aplicando em A:
E_1A=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}.
Operação 2: zerar a entrada abaixo do pivô, em posição (2,1), usando R_2\leftarrow R_2-6R_1.
  • Matriz elementar correspondente:
E_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-6 & 1\end{pmatrix}.
  • Aplicando sobre o resultado anterior:
E_2(E_1A)= \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois o cálculo do elemento (2,2) é 4-6\cdot\tfrac{1}{2}=4-3=1.
Operação 3: zerar a entrada acima do segundo pivô, em posição (1,2), com R_1\leftarrow R_1-\tfrac{1}{2}R_2.
  • Matriz elementar correspondente:
E_3=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Aplicando:
E_3\bigl(E_2(E_1A)\bigr)= \begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Portanto obtivemos a factorização
E_3 E_2 E_1 A = I.]

Passo 4

Deduzir A^{-1} e A como produtos de matrizes elementares e mostrar explicitamente as inversas elementares.
  • Da igualdade E_3 E_2 E_1 A = I segue imediatamente
E_3 E_2 E_1 = A^{-1}.
Assim já temos A^{-1} escrito como produto de matrizes elementares: A^{-1}=E_3E_2E_1, com
E_1=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-6 & 1\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Para expressar A como produto de matrizes elementares, usamos que cada E_i é invertível e E_i^{-1} é também elementar. Tomando inversa da igualdade anterior:
A = (E_3 E_2 E_1)^{-1} = E_1^{-1} E_2^{-1} E_3^{-1}.
Calculemos as inversas (cada uma corresponde à operação inversa):
E_1^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \quad(\text{pois }R_1\leftarrow 2R_1),
E_2^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix} \quad(\text{pois }R_2\leftarrow R_2+6R_1),
E_3^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \quad(\text{pois }R_1\leftarrow R_1+\tfrac{1}{2}R_2).
  • Verificação rápida (opcional, mas útil para entender): multiplicando
E_2^{-1}E_3^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix},
e então
E_1^{-1}\bigl(E_2^{-1}E_3^{-1}\bigr)= \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]6 & 4\end{pmatrix}=A,
confirmando que a factorização está correta.]

Passo 5

Resumo final e cálculo explícito de A^{-1} (para quem quiser ver a matriz inversa numérica).
  • A determinante de A é \det(A)=2\cdot4-1\cdot6=8-6=2, logo
A^{-1}=\tfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]-6 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}.
  • Essa matriz coincide com o produto E_3E_2E_1 que obtivemos:
E_3E_2E_1= \begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) A=E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1} =\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
(b) A^{-1}=E_3E_2E_1 =\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-6 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]-3 & 1\end{pmatrix}.

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