Calcule a fatoração L U de cada uma das seguintes matrizes:
(a) \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 9 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular a fatoração L U da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 9 & 5\end{pmatrix}.
Ou seja, encontrar matrizes triangulares L (inferior) e U (superior) tais que A=LU. Informações dadas:
  • A matriz A tem entradas a_{11}=3, a_{12}=1, a_{21}=9, a_{22}=5.
  • A tarefa é obter L e U explicitamente.]

Passo 2

O que é a fatoração LU\) (modo Doolittle, que vamos usar): procuramos \[L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix},
de modo que
A=LU.
Explicando each peça: em Doolittle escolhemos a diagonal de L igual a 1. Multiplicando L por U obtemos, em termos das incógnitas, as igualdades para os elementos de A:
\begin{cases} u_{11}=a_{11},\\[4pt] u_{12}=a_{12},\\[4pt] \ell_{21}\,u_{11}=a_{21},\\[4pt] \ell_{21}\,u_{12}+u_{22}=a_{22}. \end{cases}
Essas equações vêm simplesmente da multiplicação linha por coluna: por exemplo, a entrada (2,1)\] de \(LU é \ell_{21}u_{11}+1\cdot 0=\ell_{21}u_{11}, que deve ser igual a a_{21}.]

Passo 3

Agora resolvemos as equações na ordem conveniente (essa ordem evita divisão por zero quando u_{11}\neq 0).
Primeiro,
u_{11}=a_{11}=3.
Segundo,
u_{12}=a_{12}=1.
Terceiro, usando \ell_{21}u_{11}=a_{21}, obtemos
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{9}{3}=3.
Quarto, usando \ell_{21}u_{12}+u_{22}=a_{22}, calculamos
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=5-3\cdot 1=2.

Passo 4

Substituindo os valores encontrados nas matrizes L e U, temos
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (multiplicação passo a passo) para ganhar confiança:
  • Entrada (1,1) de LU: 1\cdot 3 + 0\cdot 0 = 3.
  • Entrada (1,2) de LU: 1\cdot 1 + 0\cdot 2 = 1.
  • Entrada (2,1) de LU: 3\cdot 3 + 1\cdot 0 = 9.
  • Entrada (2,2) de LU: 3\cdot 1 + 1\cdot 2 = 3+2=5.
Portanto LU=A, conforme exigido.

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados