Em cada parte, ache os valores das quatro primeiras somas parciais, ache a forma fechada para n-ésima soma parcial e determine se a série converge calculando o limite da n-ésima soma parcial. Se ela convergir, estabeleça sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para a série
(1) calcular as quatro primeiras somas parciais
;
(2) encontrar a forma fechada de ;
(3) verificar a convergência via e, se convergir, dar sua soma.
O conteúdo principal é decompor o termo geral em frações parciais e usar cancelamento (série telescópica).
(2) encontrar a forma fechada de
(3) verificar a convergência via
O conteúdo principal é decompor o termo geral em frações parciais e usar cancelamento (série telescópica).
Passo 2
Chamando
fazemos frações parciais: buscamos
tais que
Multiplicando pelos denominadores,
implica
Logo
e
. Daí
,
. Assim
Passo 3
A soma parcial
fica
Escrevendo alguns termos:
vemos que tudo cancela, sobrando apenas
Passo 4
Usando a fórmula de
:
temos
Passo 5
Calculamos o limite
Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
Forma fechada:
A série converge e