Em cada parte, ache os valores das quatro primeiras somas parciais, ache a forma fechada para n-ésima soma parcial e determine se a série converge calculando o limite da n-ésima soma parcial. Se ela convergir, estabeleça sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3 n+1)(3 n-2)}

Passo 1

O enunciado pede para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3n+1)(3n-2)}
(1) calcular as quatro primeiras somas parciais S_1,S_2,S_3,S_4;
(2) encontrar a forma fechada de S_N;
(3) verificar a convergência via \lim_{N\to\infty}S_N e, se convergir, dar sua soma.
O conteúdo principal é decompor o termo geral em frações parciais e usar cancelamento (série telescópica).

Passo 2

Chamando
a_n = \frac{5}{(3n-2)(3n+1)},
fazemos frações parciais: buscamos A,B tais que
\frac{5}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}.
Multiplicando pelos denominadores,
A(3n+1) + B(3n-2) = 5
implica
3(A+B)\,n + (A-2B) = 0\cdot n + 5.
Logo A+B=0 e A-2B=5. Daí A=5/3, B=-5/3. Assim
a_n = \frac{5}{3}\Bigl(\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}\Bigr).

Passo 3

A soma parcial S_N=\sum_{n=1}^N a_n fica
S_N = \frac{5}{3}\Bigl[\sum_{n=1}^N\frac{1}{3n-2} \;-\;\sum_{n=1}^N\frac{1}{3n+1}\Bigr].
Escrevendo alguns termos:
\frac{1}{1}-\frac{1}{4},\quad \frac{1}{4}-\frac{1}{7},\quad \frac{1}{7}-\frac{1}{10},\;\dots,\;\frac{1}{3N-2}-\frac{1}{3N+1},
vemos que tudo cancela, sobrando apenas
S_N = \frac{5}{3}\Bigl(\frac{1}{1} - \frac{1}{3N+1}\Bigr) = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{3N+1}\Bigr).

Passo 4

Usando a fórmula de S_N:
S_N = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{3N+1}\Bigr),
temos
S_1 = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{4}\Bigr) = \frac{5}{4},\quad S_2 = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{7}\Bigr) = \frac{10}{7},
S_3 = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{10}\Bigr) = \frac{3}{2},\quad S_4 = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{13}\Bigr) = \frac{20}{13}.

Passo 5

Calculamos o limite
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{3N+1}\Bigr) = \frac{5}{3}(1 - 0) = \frac{5}{3}.
Portanto a série converge e sua soma é \tfrac{5}{3}.

Resposta

S_1 = \tfrac{5}{4},\; S_2 = \tfrac{10}{7},\; S_3 = \tfrac{3}{2},\; S_4 = \tfrac{20}{13}.
Forma fechada:
S_N = \frac{5}{3}\Bigl(1 - \frac{1}{3N+1}\Bigr).
A série converge e
\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{(3n+1)(3n-2)} = \frac{5}{3}.

Exercícios relacionados