Verifique se a sequência \left\{\frac{n^{2}+3}{n+1}\right\} é limitada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}+3}{n+1}
é limitada, ou seja, se existem constantes m e M tais que
m \le a_{n} \le M \quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Para isso vamos analisar o comportamento de a_n quando n cresce.

Passo 2

Aplicamos divisão de polinômios em
\frac{n^{2}+3}{n+1}
para reescrever a_n. Dividindo n^2+3 por n+1 obtemos
n^{2}+3=(n+1)(n-1)+4,
logo
a_{n} =\frac{n^{2}+3}{n+1} =n-1+\frac{4}{n+1}.

Passo 3

Observe que
a_{n}=n-1+\frac{4}{n+1}.
Para todo n\ge1 temos \frac{4}{n+1}>0, então
a_{n}>n-1.
À medida que n\to\infty, o termo n-1\to\infty, logo
a_{n}\to\infty.

Passo 4

Como a_{n}\to\infty, não existe um M finito que satisfaça a_{n}\le M para todo n. Assim, a sequência não é limitada superiormente. Ela é limitada inferiormente (por exemplo, a_{1}=2 e para n\ge1 vale a_{n}\ge2), mas não é limitada no sentido usual de ter um teto finito.

Resposta

A sequência \{(n^{2}+3)/(n+1)\} não é limitada.

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