Dada a sequência de somas parciais S_{n}=\frac{2 n}{n+1}, determine se a série \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma.

Passo 1

O enunciado fornece a sequência de somas parciais
S_{n} = \frac{2n}{n+1}
de uma série \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} e pede para determinar se esta série converge e, em caso afirmativo, encontrar o valor da soma. O conteúdo aqui é teoria de séries numéricas, em particular o critério de convergência via limite das somas parciais.

Passo 2

O critério de convergência diz que a série \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} converge se, e somente se, a sequência \bigl(S_{n}\bigr) de suas somas parciais tiver limite finito quando n\to\infty. Se esse limite existir e for igual a L, então
\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} = L.

Passo 3

Calculamos o limite de S_{n}:
\lim_{n\to\infty} S_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{1 + \tfrac1n} = \frac{2}{1+0} = 2.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}S_{n}=2 existe e é finito, concluímos que a série converge e que sua soma é exatamente esse limite.

Resposta

A série converge e
\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} = 2.

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