Em cada parte, calcule a integral
integralC(3 x+2 y) d x+(2 x-y) d y
ao longo da curva indicada.
(d) A curva y=x^3 de (0,0) até (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha ao longo da curva , indo do ponto até . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e parametrizar a curva para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = t y(t) = t^3 . Como estamos indo de até , podemos usar como nosso parâmetro. Então, definimos:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dxdt = 1 dydt = 3t^2 e em relação a :

Passo 4

Substituímos integral0^1 [3t + 2t^3] cdot 1 , dt + [2t - t^3] cdot 3t^2 , dt , , e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^1 (3t + 2t^3 + 6t^3 - 3t^5) dt = integral0^1 (3t + 8t^3 - 3t^5) dt

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral0^1 3t , dt = 32t^2 |0^1 = 32(1)^2 - 32(0)^2 = 32
integral0^1 8t^3 , dt = 2t^4 |0^1 = 2(1)^4 - 2(0)^4 = 2
integral0^1 -3t^5 , dt = -12t^6 |0^1 = -12(1)^6 + 12(0)^6 = -12

Passo 7

Somando todos os resultados das integrais:
32 + 2 - 12 = 32 + 42 - 12 = 62 = 3

Resposta

O valor da integral de linha ao longo da curva de até é 3.

Exercícios relacionados