Considere as funções f(x)=x^2+3 x e g(x)=(1-(k+1)^2) x^2+3 x+(k+5)^2, em que k é um número real positivo.
Determine, em função de k, o valor da área da região delimitada por f e g.

Passo 1

Temos as funções f(x)=x^2+3x e g(x)=(1-(k+1)^2)x^2+3x+(k+5)^2. O objetivo é encontrar a área da região limitada pelos gráficos de f e g. Para isso, precisamos achar os pontos de interseção e depois calcular a integral da diferença entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos f(x)=g(x):
x^2+3x=(1-(k+1)^2)x^2+3x+(k+5)^2
Cancelando +3x dos dois lados e rearranjando, vem
(k+1)^2x^2=(k+5)^2
Logo,
x^2=gl(k+5k+1gr)^2
e os pontos de interseção são
x=pmk+5k+1,

Passo 3

Para saber qual curva está acima, calculamos g(x)-f(x):
g(x)-f(x)=(k+5)^2-(k+1)^2x^2
Como esse valor é positivo para x entre as raízes, temos g(x)>= f(x) nesse intervalo.

Passo 4

A área entre duas curvas de x=-a a x=a é
integral-a^a[g(x)-f(x)],dx
onde a=k+5k+1. Então montamos:
integral-a^al((k+5)^2-(k+1)^2x^2r)dx =integral-a^a(k+5)^2dx- (k+1)^2integral-a^ax^2dx
Sabendo que
integral-a^a(k+5)^2dx=2a(k+5)^2, integral-a^ax^2dx=2a^33,
vem
Área=2a(k+5)^2-(k+1)^2cdot2a^33 Á

Passo 5

Basta agora substituir a=k+5k+1 e simplificar:
2k+5k+1(k+5)^2-2(k+1)^23l(k+5k+1r)^3 =4(k+5)^33(k+1)

Resposta

4(k+5)^33(k+1)

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