Considere as funções
e
, em que
é um número real positivo.
Determine, em função de
, o valor da área da região delimitada por
e
.
Determine, em função de
Passo 1
Temos as funções
e
. O objetivo é encontrar a área da região limitada pelos gráficos de
e
. Para isso, precisamos achar os pontos de interseção e depois calcular a integral da diferença entre elas.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos
:
Cancelando
dos dois lados e rearranjando, vem
Logo,
e os pontos de interseção são
Passo 3
Para saber qual curva está acima, calculamos
:
Como esse valor é positivo para
entre as raízes, temos
nesse intervalo.
Passo 4
A área entre duas curvas de
a
é
onde
. Então montamos:
Sabendo que
vem
Passo 5
Basta agora substituir
e simplificar: